Función Generatriz de Probabilidad

¿Qué vamos a discutir hoy?

Importancia de las variables aleatorias de valores enteros.
Definición de la Función Generatriz de Probabilidad (FGP).
Obtención de Momentos Factoriales.
Ejemplos: Distribución Geométrica y Binomial.

Introducción y Motivación

Existen fenómenos donde la variable de interés \(X\) solo toma valores en los enteros no negativos \(\{0, 1, 2, \dots \}\).

Aplicaciones prácticas:

Teoría de Colas: Modelar el número de personas en espera, esencial para el diseño de estaciones de servicio, cajas de supermercado u hospitales.
Modelos de Crecimiento: Crecimiento de poblaciones bacterianas o el número de personas afectadas por una epidemia.

El estudio de estas variables se simplifica mediante el uso de funciones generatrices, las cuales “empaquetan” toda la distribución de probabilidad en una serie de potencias.

Función Generatriz de Probabilidad

Definición (FGP)

Sea \(X\) una variable aleatoria discreto, donde \(P(X=x) = p_x\). La función generatriz de probabilidad \(P(t)\) de \(X\) se define como:

\[P(t) = E(t^X) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \dots = \sum_{x=0}^{\infty} t^xP_x \]

Notas: La serie es convergente para \(\mid t \mid \leq 1\).

Unicidad: Si conocemos \(P(t)\), podemos recuperar cada \(p_X\) de forma única, ya que \(p_X\) es el coeficiente de \(t^x\).

Observe que: \(P(1) = \sum_{x=0}^{\infty} p_x = 1\).

Obtención de Momentos Factoriales

A partir de \(P(t)\) es posible hallar los momentos de \(X\). La \(k\)-ésima derivada de \(P(t)\) respecto a \(t\) evaluada en \(t=1\) nos da el k-ésimo momento factorial:

\[\mu_{(k)} = E[X(X-1)(X-2)\cdots(X-k+1)] = P^{(k)}(1)\]

Relación con la Media y Varianza

\(E(Y) = P'(1)\)
\(Var(Y) = P''(1) + P'(1) - [P'(1)]^2\)
Ojo, estos son momentos factoriales, no momentos al origen.

Prueba: Ejercicio

Ejemplo: Distribución Geométrica

Sea \(X \sim \text{Geométrica}(p)\) con \(P(X=x) = pq^{x-1}\) para \(x = 1, 2, \dots\) y \(q=1-p\)

Encuentre la FGP: \[P(t) = E(t^X) = \sum_{x=1}^{\infty} t^x pq^{x-1} = pt \sum_{x=1}^{\infty} (qt)^{x-1}\]

\[= pt \sum_{k=0}^{\infty} (qt)^{k}, \quad \tiny\text{cambio de índice};\]

Como es una serie geométrica con razón \(qt\): \[P(t) = \frac{pt}{1-qt} \quad \text{ para } t < 1/q\]

Ejemplo: Momentos de la Geométrica

Utilizando \(P(t)\) hallada anteriormente, calculemos \(E(X)\).

Derivamos respecto a \(t\): \[P'(t) = \frac{p(1-qt) - pt(-q)}{(1-qt)^2} = \frac{p - pqt + pqt}{(1-qt)^2} = \frac{p}{(1-qt)^2}\]

Evaluando en \(t=1\): \[P'(1) = \frac{p}{(1-q)^2} = \frac{p}{p^2} = \frac{1}{p}\]

Por lo tanto, \(E(X) = 1/p\).

Comparación entre FGP y la FGM

FGP - \(P(t)\):

Solo para variables discretas.
Momento factoriales.
Útil para deducir la distribución de sumas de variables.

FGM - \(m(t)\) :

General para cualquier variable.
Momentos al origen \(E(X^k)\).
Relación: \(P(e^t) = m(t)\).

A menudo es más fácil hallar los momentos de una variable discreta usando \(P(t)\) que mediante \(m(t)\) o la definición directa de esperanza.

Ejercicios

1. Distribución Binomial: Sea \(X \sim \text{Binomial}(n, p)\).

Demuestre que \(P(t) = (q + pt)^n\).

Use \(P(t)\) para hallar \(E(X)\).

2. Distribución Poisson: Sea \(X \sim \text{Poisson}(\lambda)\).

Encuentre \(P(t)\). Sugerencia: use la serie de Taylor para \(e^x\).

Halle \(E(X)\) y \(V(X)\) usando derivadas.

3. Momentos de orden superior:

A partir de la \(P(t)\) de la distribución Poisson, encuentre el tercer momento factorial \(E[X(X-1)(X-2)]\) y utilícelo para hallar \(E(X^3)\).

Resumen de Propiedades

Suponga que \(P(t)\) es la FGP de \(X\).

Objetivo	Operación
Probabilidad \(P(X=0)\)	Evaluar \(P(0)\)
Probabilidad \(P(X=k)\)	\(\frac{1}{k!} P^{(k)}(0)\)
Esperanza \(E(X)\)	\(P'(1)\)
Segundo Momento Factorial	\(P''(1)\)
Suma de \(X_1 + X_2\) (indep)	\(P_{Y_1}(t) \cdot P_{Y_2}(t)\)