Una integral impropia es aquella en la que: - El intervalo de integración es infinito, o - El integrando presenta una discontinuidad infinita en el intervalo.
Integrales de primera especie:
Son aquellas donde algún límite de integración es infinito.
\[ \int_a^{\infty} f(x)\,dx \;=\; \lim_{t \to \infty} \int_a^{t} f(x)\,dx \]
y/o
\[ \int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx \;=\; \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{b} f(x)\,dx \]
\[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^t x^{-2}\,dx = \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^t = 1 \]
La integral converge.
\[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t \to \infty} \ln(t) = \infty \]
La integral diverge.
Integrales de segunda especie:
Se presentan cuando el integrando tiene una discontinuidad no integrable en el intervalo de integración.
Caso general con singularidad en (c [a,b]): \[ \int_a^b f(x)\,dx \;=\; \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)\,dx \;+\; \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x)\,dx \]
\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \big[2x^{1/2}\big]_t^1 = 2 \]
La integral converge.
\[ \int_0^1 \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \ln(x) \Big|_{t}^{1} = \infty \]
La integral diverge.