Teorema 7.13.
Si X es una variable aleatoria discreta tal que \(X\sim Bin(n,p)\) para la cual \(n\rightarrow\infty\), \(p\rightarrow0\) y \(\lambda=np\) constante, entonces:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}\]
Demostración:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{x!(n-x)!}\cdot\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{x}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}\]
\[=\frac{\lambda^{x}}{x!}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!}\cdot\frac{1}{n^{x}}\cdot\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\]
\[=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-x+1)(n-x)!}{(n-x)!}\cdot\frac{1}{n^{x}}\cdot\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\]
\[=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-x+1)}{n\cdot n\cdot n\cdot\cdot\cdot n}\cdot\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\]
\[=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}\lim_{n\rightarrow\infty}1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{x-1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\]
\[=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}\cdot1\cdot1\cdot\cdot\cdot1\]
\[=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}\]
Ejemplo 7.18.
Si se sabe que la probabilidad de que un individuo sufra una reacción adversa a un determinado fármaco es de 0,001, determine la probabilidad de que, de 2000 individuos:
Exactamente tres individuos sufran una reacción adversa.
Más de dos individuos sufran una reacción adversa.
Solución:
\[\small P(X=3)=\frac{2^{3}\cdot e^{-2}}{3!}\approx0,18\]
Existe, aproximadamente un 18% de probabilidad de que exactamente tres individuos de los 2000 sufran una reacción adversa.
\[P(Y>2)=1-P(Y\le2)\]
\[=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)\]
\[=1-5e^{-2}\]
\[\approx0,323\]
De modo que existe aproximadamente un 32,3% de probabilidades de que más de dos personas presenten una reacción adversa.
Exactamente 3 libros estén defectuosos
A lo sumo 10 libros estén defectuosos
Más de 2 pero menos de 8 libros estén defectuosos.
3 o 5 libros estén defectuosos.
Teorema 7.11.
Si X es una variable aleatoria discreta tal que \(X\sim HG(N,K,n)\) para la cual \(N\rightarrow\infty\) y \(p\rightarrow\frac{K}{N}\) permanece constante, entonces:
\[\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\]
Demostración:
\[=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}\]
\[=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{K!}{x!(K-x)!}\cdot\frac{(N-K)!}{(n-x)!(N-K-n+x)!}\cdot\frac{n!(N-n)!}{N!}\]
\[\tiny =\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{n!}{x!(n-x)!}\cdot\frac{K(K-1)\cdot\cdot\cdot(K-x+1)}{(N-K-n+x)!}\cdot\frac{(N-K)(N-K-1)\cdot\cdot\cdot(N-K-n+x+1)(N-K-n+x)!}{N(N-1)(N-2)\cdot\cdot\cdot(N-n+1)(N-n)!}\cdot(N-n)!\]
\[\tiny =\binom{n}{x}\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{K(K-1)(K-2)\cdot\cdot\cdot(K-x+1)\cdot(N-K)(N-K-1)\cdot\cdot\cdot(N-K-n-x+1)}{N(N-1)(N-2)\cdot\cdot\cdot(N-x+1)\cdot(N-x)(N-x-1)(N-x-2)\cdot\cdot\cdot(N-x-n+1)}\]
\[\tiny =\binom{n}{x}\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\frac{K}{N}\cdot\frac{K-1}{N-1}\cdot\frac{K-2}{N-2}\cdot\cdot\cdot\frac{K-(x-1)}{N-(x-1)}\right)\cdot\left(\frac{N-K}{N-x}\cdot\frac{N-K-1}{N-x-1}\cdot\frac{N-K-2}{N-x-2}\cdot\cdot\cdot\frac{N-K-(n-x-1)}{N-x-(n-x-1)}\right)\]
\[\approx\binom{n}{x}p^{x}\cdot(1-p)^{n-x}\]
Ejemplo 7.20. : En un lote de \(\small N=100\) componentes electrónicos, hay 40 defectuosos. Sea X el número de componentes defectuosos en una muestra aleatoria de tamaño 20. Encuentre \(\small P(X=10)\) mediante la distribución de probabilidad hipergeométrica, y compárela con el resultado obtenido al emplear la distribución de probabilidad binomial.
Solución:
Con la distribución de probabilidad hipergeométrica:
\[\small P(X=10)=\frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}=\frac{\binom{40}{10}\binom{100-40}{20-10}}{\binom{100}{20}}\approx0,1192\]
Con la distribución de probabilidad binomial, para la cual \(\small p=\frac{K}{N}=\frac{40}{100}=0,4\):
\[\small P(X=10)=\binom{20}{10}(0,4)^{10}(0,6)^{20-10}=\frac{20!}{10!10!}(0,4)^{10}(0,6)^{10}\approx0,117\]
Se concluye que \(\small N=100\) es lo suficientemente grande para obtener una buena aproximación de \(\small P(X=10)\) mediante la distribución binomial.
En la biblioteca de un profesor hay 150 libros: 90 de estadística y 60 de matemáticas. Se escogen 5 libros al azar para regalárselos a un amigo. ¿Cuál es la probabilidad de que el amigo reciba dos libros de estadística?