Definición: Una variable aleatoria uniforme discreta X presenta la siguiente distribución de probabilidad:
\[ P(X=x) = \frac{1}{N}, \quad x \in \{1,2,3, \cdots , N\} \]
Esperanza:
\[ \small E[X] = \frac{N+1}{2} \]
Varianza:
\[ \small \operatorname{Var}(X) = \frac{N^2-1}{12} \]
Se lanza un dado. Sea \(X\) = número de puntos obtenido. Es evidente que la distribución de probabilidad de \(X\) es una distribución uniforme con:
\[ P(X=x) = \frac{1}{6}, \quad x \in \{1,2,3, \cdots , 6\} \]
\[ \small E[X] = \frac{6+1}{2} = 3.5 \]
\[ \small \operatorname{Var}(X) = \frac{N^2-1}{12} = \frac{6^2-1}{12} = \frac{35}{12} \]
Definición: Es una Variable aleatoria que toma valor 1 con probabilidad \(p\) (éxito) y 0 con probabilidad \(1-p\) (fracaso).
Función de probabilidad:
\[
\small P(X = x) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x \in \{0,1\}
\]
Esperanza: \(\small E[X] = p\)
Varianza: \(\small \operatorname{Var}(X) = p(1-p)\)
Función de distribución acumulada (FDA):
\[
\small F(x) = \begin{cases}
0 & x < 0 \\
1-p & 0 \leq x < 1 \\
1 & x \geq 1
\end{cases}
\]
Definición:
Número de éxitos en \(n\) ensayos Bernoulli independientes.
Función de probabilidad:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0,1,\dots,n
\]
Esperanza:\(\quad E[X] = np\)
Varianza: \(\quad \operatorname{Var}(X) = np(1-p)\)
FDA:
\[
F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}
\]
Una fábrica produce tornillos con probabilidad \(p=0.02\) de ser defectuosos. En una muestra de \(n=50\), calcular la probabilidad de que haya al menos 2 defectuosos.
Un dado cargado tiene probabilidad \(p=1/3\) de dar seis. En 12 lanzamientos, calcule la probabilidad de obtener al menos 4 seises.
Definición:
Número de éxitos al seleccionar sin reemplazo de una población finita.
Función de probabilidad:
\[
P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = 0,1,\dots,n
\]
Esperanza:\(\quad E[X] = n \frac{K}{N}\)
Varianza:\(\quad \operatorname{Var}(X) = n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\)
Definición:
Número de ensayos hasta el primer éxito.
Función de probabilidad:
\[
P(X = k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k = 1,2,3,\dots
\]
Esperanza:\(\quad E[X] = \frac{1}{p}\)
Varianza:\(\quad \operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}\)
FDA:
\[
F(k) = 1-(1-p)^k
\]
La probabilidad de que un email sea spam es \(p=0.2\).
(Sin guiar) Un dado tiene probabilidad \(p=1/6\) de dar un seis. Calcule la varianza del número de lanzamientos hasta el primer seis.
(Sin guiar) Un futbolista tiene probabilidad \(p=0.3\) de anotar un gol en cada tiro. ¿Cuál es la probabilidad de que anote por primera vez en el 5to tiro?
Definición:
Número de ensayos hasta obtener \(r\) éxitos.
Función de probabilidad:
\[
P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k=r, r+1,\dots
\]
Esperanza:\(\quad E[X] = \frac{r}{p}\)
Varianza:\(\quad \operatorname{Var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}\)
FDA: (no siempre cerrada, pero puede expresarse con sumatoria).
Una máquina tiene \(p=0.4\) de producir pieza buena. ¿Cuántos ensayos se esperan hasta obtener \(r=3\) piezas buenas?
(Sin guiar) Un jugador lanza un dado con probabilidad \(p=0.25\) de éxito. ¿Cuál es la probabilidad de necesitar 6 ensayos para lograr 2 éxitos?
Un experimento con \(p=0.1\) de éxito busca obtener \(r=5\) éxitos. ¿Cuál es la varianza?
Definición:
Número de eventos en un intervalo de tiempo o espacio.
Función de probabilidad:
\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots
\]
Esperanza:\(\quad E[X] = \lambda\)
Varianza:\(\quad \operatorname{Var}(X) = \lambda\)
FDA:
\[
F(k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!}
\]
El número de llamadas a un call center por minuto sigue una Poisson con \(\lambda=3\).
(Sin guiar) El número de accidentes diarios en una carretera sigue una Poisson con \(\lambda=1.5\). Calcule la probabilidad de que ocurran al menos 2 accidentes en un día.
(Sin guiar) Una fotocopiadora recibe errores con media \(\lambda=0.2\) por página. ¿Cuál es la probabilidad de que en 10 páginas haya más de 1 error?