Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, se llama espacio muestral y se denota por \(\Omega\)
El espacio muestral \(\Omega\) se llama discreto si es finito o numerable. Un experimento aleatorio se llama finito (discreto) si su espacio muestral es finito (discreto). El espacio muestral se llama continuo si es un intervalo.
Nota: Es importante repasar las propiedades de conjuntos de la primera clase.
Un evento simple es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, cada uno de los puntos muestrales.
Un evento compuesto es un conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, un conjunto de eventos simples, por lo que, es un subconjunto del espacio muestral.
Experimento Aleatorio: Lanzar un dado.
Espacio Muestral \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)
Evento Simple: Que salga un 2 \(=\{2\}\)
Evento Compuesto: Que salga un número primo \(=\{1,2,3,5\}\)
Diremos que A es subconjunto de B \(\left( A \subset B\right)\). Si todo elemento de A está contenido en B.
Denotaremos el conjunto unión de A, B como \(A \cup B\) de tal forma que contiene a todos los elementos de A o B
Denotaremos el conjunto unión de A, B como \(A \cap B\) de tal forma que contiene a todos los elementos de A y B
Denotaremos al conjunto complemento de A como \(A^c\) de tal forma que contiene a todos los elementos que están en \(\Omega\), pero no en A.
Definimos la resta de conjuntos \(A-B\) como el conjunto que contiene a todos los elemento que están en A, pero no de B, es decir, \(A \cap B^c\).
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si ambos no comparten elementos o resultados, es decir \(A \cap B = \emptyset\).
Experimento Aleatorio: Cantidad de homicidios diarios en el país.
A = No hay homicidios. = \(\{0\}\)
B = Hay 2 homicidios o más. = \(\{2,3,4,\cdots\}\)
\(A\cap B = \emptyset\)
\(\therefore \text{A y B son mutuamente excluyentes}\)
El conjunto potencia de A es la colección de subconjuntos de A usualmente denotado por \(\mathcal{P}(A)\)
\(a \in \mathcal{P}(A) \quad \text{si} \quad a\subset A\)
Ejemplo:
Sea \(A = \{1,2,3\}\)
Entonces \(\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\} \}\)
Note que si el conjunto A tiene n elemento el conjunto \(\mathcal{P}(A)\) tiene \(2^n\) elementos.
Sea \(\mathcal{P}(\Omega)\) el conjunto potencia del espacio muestral, y sea \(\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(\Omega)\). Se dice que \(\mathcal{A}\) es una \(\sigma-\text{álgebra en }\Omega\) si cumple con los axiomas:
Axioma 1: \(\Omega \in \mathcal{A}\)
Axioma 2: \(\text{Si } A\in \mathcal{A},\text{entonces, } A^c \in \mathcal{A}\)
Axioma 3: \(\text{Si } A_1, A_2, \dots\in \mathcal{A},\text{entonces, } \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{A}.\)
A la dupla \((\Omega, \mathcal{A})\) se le llama espacio medidible si \(\Omega \ne \emptyset\) y \(\mathcal{A}\) es una \(\sigma-\text{álgebra en }\Omega.\)
Sea \(\mathcal{A}\) una \(\sigma-\text{álgebra en }\Omega.\) Se define una probabilidad, o lo que es equivalente, una medida de probabilidad sobre \(\Omega\), a la función:
\[ P: \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R} \]
la cual cumple con los axiomas de Kolmorov:
Axioma 4: \(P(A) \geq 0, \forall A \in \mathcal{A}.\)
Axioma 5: \(P(\Omega) = 1.\)
Axioma 6: \(\text{Para cada sucesión de eventos } A_1, A_2, \dots \in \mathcal{A}, \text{ disyuntos dos a dos, se cumple que:}\)
\[ P \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \]
La cual corresponde a una serie convergente (debido al axioma 5).
1) \(P(\emptyset) = 0.\)
Prueba: Considere que \(\Omega = \Omega \cup \emptyset\)
\(1=P(\Omega) = P(\Omega \cup \emptyset) = P(\Omega)+P(\emptyset) = 1 +P(\emptyset) \Rightarrow P(\emptyset) =0\)
2) Si \(A \cap B = \emptyset\) es cualquier evento, entonces: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B).\)
Prueba: Usando el axioma 6 y tomando \(A_1 = A\) y \(A_2 = B\) .
3) Si \(A\) es cualquier evento, entonces: \(P(A^c) = 1- P(A).\)
Prueba: Considere que \(\Omega = A \cup A^c,\) los cuales son eventos mutamentes disjuntos. Entonces:
\(1=P(\Omega) = P(A \cup A^c) = P(A)+P(A^c)\)
\(P(A^c) =1-P(A)\)
4) Si \(A\) y \(B\) son eventos, entonces: \(P(B-A) = P(A\cap B^c) = P(A) - P(A\cap B).\)
Prueba: Ejercicio Note que \(\small A=(A\cap B^c) \cup (A\cap B)\)
5) Si \(A\) y \(B\) son eventos tales que, \(A\subseteq B\), entonces: \(P(B-A) = P(B) - P(A).\)
Prueba: Ejercicio. Sugerencia: si \(A\subseteq B,\) entonces \(B=A\cup(A^c \cap B)\)
6) Si \(A\) y \(B\) son eventos tales que, \(A\subseteq B\), entonces: \(P(A) \leq P(B)\)
Prueba: Ejercicio.
A la terna \((\Omega, \mathcal{A}, P),\) donde \(\mathcal{A}\) es una \(\sigma-\text{álgebra sobre }\Omega, \text{ y P}\) es una medida de probabilidad, se le llama espacio de probabilidad. Si \(A\in\mathcal{A},\) al valor \(P(A)\) se le llama la probabilidad de A.
Sea \(\Omega\) un conjunto finito no vacío. La función de probabilidad:
\[ P(X)=\frac{\mid A \mid}{\mid \Omega \mid} \]
definida por \(P: \mathcal{P}(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}^{+}\cup\{0\},\) se conoce como Ley de Laplace.
Para A y B eventos cualesquiera se cumple que:
\[ \small P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \]
Prueba:
Considere que \(\small A\cup B = (A\cap B^c) \cup (B\cap A^c) \cup (A\cap B)\)
\(\small \Rightarrow P(A\cup B ) = P(A\cap B^c) + P(B\cap A^c) + P(A\cap B), \quad \text{Suma de probabilidad de eventos disjuntos}\)
Note que \(\small A=(A\cap B^c) \cup (A\cap B)\) y \(B=(A^c\cap B) \cup (A\cap B)\)
\(\small P(A)= P(A\cap B^c) + P(A\cap B), \quad \text{Suma de probabilidad de eventos disjuntos}\)
\(\small P(B)= P(A^c\cap B) + P(A\cap B),\quad \text{Suma de probabilidad de eventos disjuntos}\)
\(\small \Rightarrow P(A)+P(B) = P(A\cap B^c) +P(A^c\cap B)+ 2\cdot P(A\cap B)\)
\(\small \Rightarrow P(A)+P(B) = P(A\cup B) + P(A\cap B)\)
\(\small \Rightarrow P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
Teorema: Para \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) eventos cualesquiera, se tiene que:
\(P(A_1 \cup A_2 \cdots \cup A_n)\)
\(=\sum_{i=1}^n P(A_i)- \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j)+ \sum_{i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k)- \dots\)
\(\cdots+ (-1)^{n+1} P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n)\)