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Reglamentación
¿Temas que se abarcarán en modelos probabilísticos I y II?
https://seeing-theory.brown.edu
https://www.acsu.buffalo.edu/~adamcunn/probability/probability.html
¿Por qué es necesario conocer de teoría de probabilidad?
Probabilidad
Espacio Muestral
Análisis Combinatorio
Variable aleatoria (v.a.)
Esperanza E(X)
Varianza Var(X)
Distribuciones Discretas
Distribuciones Continuas
Versomilitud
Momentos Poblacionales
Desigualdad de Markok
Teorema de Chebyshev
¿Qué se entiende por probabilidad?
De manera intuitiva, la probabilidad puede entenderse como una medida cuantitativa que nos dice que tan favorable es la ocurrencia de un suceso o evento.
Pero a esta definición le falta rigor matemático.
Experimento Aleatorio: Es un fenomeno que se puede repetir en condiciones similares, no se puede predecir el resultado del experimeto previamente.
Espacio Muestral \(\Omega\) : Conjunto de todos los posibles resultados.
Evento: Es cualquier acontecimiento que pueda ocurrir.
Ejemplo:
Experimento Aleatorio: Lanzar un dado.
Espacio Muestral \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)
Evento A: Que salga un número par = \(\{2,4,6\}\)
Evento B: Que salga un 5 = \(\{5\}\)
Evento C: Que salga un número mayor a 10 = \(\emptyset\)
Enfoque Clásico.
Enfoque Frecuentista.
Enfoque Subjetivo.
Enfoque Axiomático.
Supuestos:
Espacio muestral finito.
Variable Aleatoria discreta.
Resultados son mutuamente excluyentes e igualmente probables.
\[ P(A) = \frac{\text{Casos Favorables}}{\text{Casos Totales}} = \frac{\text{Cardinalidad de A}}{\text{Cardinalidad de }\Omega} = \frac{n(A)}{n} \]
Ejemplo:
Obtener una cara al lanzar una moneda equilibrada \(P(A) = \frac{\mid \{Cara\}\mid}{\mid\{Cara, Escudo \}\mid} = \frac{1}{2}\)
La suma de dos dados al lanzarlos sea 3 \(P(A) = \text{?}\)
Número de casos favorables desconocido.
Total de resultados podría ser infinito.
Resultados no igualmente probables, ejemplo: una moneda cargada que favorezca la aparición de escudo.
También conocido como enfoque a posteriori. Se basa en resultados empíricos, y se interpreta como la frecuencia relativa de un evento.
Es decir si se tienen n repeticiones de un experimento y un evento A ocurre n(A) veces entonces la probabilidad de ocurrencia del evento queda dada por la frecuencia relativa de A :
\[ f(A) = \frac{n(A)}{n} \]
Si las repeticiones se realizan de manera similar bajo las mismas condiciones y n es suficientemente grande entonces:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n(A)}{n} = P(A) \]
Dependencia de la cantidad de repeticiones “n”.
Repetición del experimento en condiciones similares.
No convergencia de las frecuencias relativas.
Es una medida de creencia personal de un evento. Lo cual presenta problemas ya que dos personas pueden asignar probabilidades distintas, es útil cuando no se tiene conocimiento del evento.
Está apoyado en la teoría de conjuntos y evita las limitaciones de los enfoques clásicos, frecuentista y subjetivo.
Como su nombre lo indica se basa en la definición de axiomas para la construcción de la teoría de probabilidad.
En teoría de conjuntos se denota como \(S\) al conjunto de todos los elementos.
Diremos que A es subconjunto de B \(\left( A \subset B\right)\). Si todo elemento de A está contenido en B.
Denotaremos el conjunto unión de A, B como \(A \cup B\) de tal forma que contiene a todos los elementos de A o B
Denotaremos el conjunto unión de A, B como \(A \cap B\) de tal forma que contiene a todos los elementos de A y B
Denotaremos al conjunto complemento de A como \(A^c\) de tal forma que contiene a todos los elementos que están en \(S\), pero no en A.
Definimos la resta de conjuntos \(A-B\) como el conjunto que contiene a todos los elemento que están en A, pero no de B, es decir, \(A \cap B^c\).
Ejemplo 1: Supongamos que vamos a lanzar un dado. Entonces podríamos definir:
\(S = \{1,2,3,4,5,6\}\)
\(A = \text{obtener un número par}\)
\(B = \text{obtener un número primo}\)
Defina: \(A,B, A\cup B, A^c, B^c, A\cap B, A^c-B, A^c-B^c, A\cup (B \cap A^c)\)
Ejemplo 2: Supongamos que estamos midiendo la proporción de foráneos que tienen clases en la facultad de ciencias económicas el día de hoy. Sea:
\(S = \{ p \in \mathbb{R} \mid 0 \leq p \leq 1 \}\)
\(A = \text{El día de hoy hay más foraneos que residentes }\)
\(B = \text{Al menos el 20% de los estudiantes el día de hoy son foráneos }\)
Defina: \(A,B, A\cup B, A^c, B^c, A\cap B, A^c-B, A^c-B^c, A\cup (B \cap A^c)\)
Propiedades: Sean A,B,C tres conjuntos cualesquiera.
\(A\cup A^c = S\)
\(A \cap A^c = \emptyset\)
\(A \cap \emptyset = \emptyset\)
\(A \cup \emptyset = A\)
\(A \cap S = A\)
\(A \cup S = S\)
\(A \cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A \cap C)\) “Leyes Distributivas”
\(A \cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A \cup C)\) “Leyes Distributivas”
\((A\cap B)^c = A^c \cup B^c\) “Leyes de Morgan”
\((A\cup B)^c = A^c \cap B^c\) “Leyes de Morgan”
Si A y B son mutuamente excluyentes entonces \(A\cap B = \emptyset\).
Demuestre que:
a) \(A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})\)
b) Si \(B \subseteq A\) entonces \(A = B \cup (A \cap \overline{B})\)
c) Además demuestre que \((A \cap B) \text{ y } (A \cap \overline{B})\) son mutuamentes excluyentes y que, por tanto, \(A\) es la unición de dos conjuntos mutuamentes excluyentes.
\(0 \leq P(A) \leq 1\)
\(P(A \cup B)= P(A)+P(B) - P(A\cap B)\)
\(P(A^c)=1-P(A)\)
\(P(\emptyset)=0\)
\(P(\Omega)=1\)