Propiedades de la Media y Varianza Muestral / Estadísticos de Orden

XS-0122 Fundamentos de Teoría Estadística - I Semestre 2026

Basada en las presentaciones de Shu Wei Cho

christopher.torres@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Modelos estadísticos y familias de modelos

Ejemplo:

Una empresa produce componentes eléctricos y el interés es medir la vida útil del componente (en años).
Suponemos que la vida útil de los componentes sigue una distribución exponencial con parámetro \(\beta > 0\).

\[ f(y)= \begin{cases} \frac{1}{\beta}e^{-y/\beta}, & 0<y<\infty \\ 0, & y \le 0 \end{cases} \]

Si \(\beta\) fuera conocida, conocemos el comportamiento de la vida útil del componente; por ende, podemos calcular diferentes medidas y probabilidades.
¿Si no conocemos \(\beta\)?

Modelos estadísticos y familias de modelos

¿Si no conocemos \(\beta\)? (pero sabemos que \(\beta>0\))
La idea es estimarlo bajo algunos “supuestos”.
Si \(Y_1,Y_2,...,Y_n\) es una secuencia de observaciones de vidas útiles de \(n\) componentes.
Supuestos:
1. Suponga que \(Y_1,Y_2,...,Y_n\) consiste en \(n\) variables aleatorias i.i.d. con distribución exponencial con parámetro \(\beta\).
2. Sabemos que \(E(Y)=\beta\).
3. Con las observaciones disponibles \(Y_1,Y_2,...,Y_n\), podríamos calcular una media muestral: \(\bar{Y}=\sum\limits_{i=1}^n \frac{Y_i}{n}\).
Ejercicio:

Analice si \(\bar{Y}\) puede aproximarse a \(\beta\).
Identifique los supuestos.

Modelos estadísticos y familias de modelos

Definición: Un modelo estadístico consiste en una identificación de variables aleatorias de interés, la especificación de una distribución conjunta, o una familia de posibles distribuciones conjuntas para unas variables aleatorias observables, la identificación de uno o varios parámetros de dichas distribuciones son desconocidas.

Modelos estadísticos y familias de modelos

Ejemplos: Para el caso de componentes eléctricos, se tienen las variables aleatorias \(Y_1,...,Y_n\) cuya distribución conjunta es:

\[f(y_1,...,y_n|\beta)= \prod_{i=1}^n f(y_i|\beta),\]

en donde \(f(y_i)\) es la densidad de la distribución exponencial con parámetro \(\beta>0\), i.e.

\[f(y)= \begin{cases}\frac{1}{\beta} e^{-y/\beta}, & 0 < y < \infty, \\ 0, & y \leq 0. \end{cases}\]

La familia de posibles distribuciones conjuntas es \[ \left\lbrace f(y_1,...,y_n|\beta), \beta >0 \right\rbrace. \]

Modelos estadísticos y familias de modelos

Ejercicio (caso discreto):

En una urna con \(120\) bolas se encuentran bolas de color rojo y azul únicamente. El interés es conocer la proporción (desconocida) de bolas rojas, denotada por \(p\).

Sabemos que \(p \in [0,1]\).
Sea \(Y_1,Y_2,...,Y_n\), una secuencia de observaciones con reemplazo que denote 1 como roja y 0 como azul.
Identifique el modelo estadístico.

Propiedades de la media y variancia muestral

Sea \(X_{1}, \ldots, X_{n}\) una m.a. cuya distribución poblacional tiene media \(\mu\) y varianza \(\sigma^{2}\). Definan la media muestral y la Varianza muestral:

\[\bar{X}_{n}=\bar {X}=\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}, ~~~\text{y}~~~ S^{2} = \frac{\sum_{i=1}^n{\left(X_{j}-\bar{X}\right)^2}}{n-1}.\]

Entonces,

\(E\left(\overline{X}_{n}\right)=\mu\) y \(\operatorname{Var}\left(\bar{X}_{n}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}\)
¿Qué se sabe sobre la variancia muestral?
- \(E\left(S^2\right)=\sigma^2\).

Propiedades de la media y variancia muestral

\[\begin{eqnarray*} E\left(S^2\right)&=& E\left[\frac{\sum{\left(X_{j}-\overline{X}\right)^2}}{n-1}\right] = \frac{1}{n-1}E\left[\sum{\left[\left(X_{j}-\mu\right)-\left(\overline{X}-\mu\right)\right]^2}\right] \\ &=& \frac{1}{n-1}E\left[\sum{\left[\left(X_{j}-\mu\right)^{2}-2\left(X_{j}-\mu\right)\left(\overline{X}-\mu\right) + \left(\overline{X}-\mu\right)^{2} \right]}\right] \\ &=&\frac{1}{n-1}E\left[\sum{\left(X_{j}-\mu\right)^{2}}-2\left(\overline{X}-\mu\right)\sum{\left(X_{j}-\mu\right)} + \sum{\left(\overline{X}-\mu\right)^{2}}\right] \\ &=&\frac{1}{n-1}E\left[\sum{\left(X_{j}-\mu\right)^{2}}-2n\left(\overline{X}-\mu\right)^2 + n\left(\overline{X}-\mu\right)^{2}\right] \\ &=& \frac{1}{n-1}\left[\sum{E\left[\left(X_{j}-\mu\right)^{2}\right]}-nE\left[\left(\overline{X}-\mu\right)^2\right]\right] \\ &=& \frac{1}{n-1}\left(n\sigma^{2} - n\frac{\sigma^2}{n}\right)=\frac{1}{n-1}\left(n\sigma^{2} - \sigma^{2}\right)=\frac{\sigma^{2}\left(n-1\right)}{n-1}=\sigma^2 \end{eqnarray*}\]

Modos de convergencia

Desigualdad de Markov

Si \(X\) es una v.a. tal que \(\operatorname{Pr}(X \geq 0)=1\). Entonces para cada número real \(t>0\), se tiene que

\[\begin{equation} \operatorname{Pr}(X \geq t) \leq \frac{E(X)}{t}. \end{equation}\]

Desigualdad de Chebyshev

Si \(X\) es una v.a. que cumple que \(\operatorname{Var}(X)\) existe. Entonces para cada número \(t>0\)

\[ \operatorname{Pr}(|X-E(X)| \geq t) \leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{t^{2}}. \]

Modos de convergencia

Convergencia en probabilidad

Decimos que una secuencia de v.a. \(Z_{1}, Z_{2}, \ldots\) converge a \(b\) en probabilidad si para cada número \(\varepsilon>0\),

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{Pr}\left(\left|Z_{n}-b\right|<\varepsilon\right)=1\]

Esta propiedad se denota como

\[ Z_{n} \stackrel{p}{\longrightarrow} b. \]

Propiedades de la media muestral

Ley de los grandes números

Suponga que \(X_{1}, \ldots, X_{n}\) es una muestra de una distribución con media \(\mu\) y varianza finita. Sea \(\bar{X}_{n}\) la media muestral. Entonces, \[\begin{equation*} \bar{X}_{n} \stackrel{p}{\longrightarrow} \mu \end{equation*}\]

¿Cómo se puede probar este resultado usando la desigualdad de Chebyshev?

Propiedades de la media muestral

Convergencia en distribución

Suponga que se tienen una secuencia de funciones de distribución \(F_1, \ldots, F_n, \ldots\) para la secuencia de v.a. \(X_1,\ldots,X_n,\ldots\). Se dice que la secuencia de v.a. \(X_1,\ldots,X_n,\ldots\) converge en distribución a \(X^*\), cuya función de distribución es \(F^*\), si

\[\begin{equation*} \lim _{n \rightarrow \infty} F_{n}(x)=F^{*}(x). \end{equation*}\] Se denota también como \[\begin{equation*} X_n \stackrel{d}{\longrightarrow} X^*. \end{equation*}\]

Propiedades de la media muestral

Teorema del límite central

Si \(X_1,\ldots, X_n\) es una muestra aleatoria de tamaño \(n\), y la distribución tiene media \(\mu\) y varianza \(0<\sigma^2< \infty\). Entonces se cumple que

\[Z_{n} = \frac{\overline{X}_n-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \stackrel{d}{\longrightarrow} N\left(0,1\right) \quad si\quad n \rightarrow \infty\] o lo que es equivalente \[\overline{X}_n \xrightarrow{\text{d}} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad si\quad n \rightarrow \infty.\]

Propiedades de la media muestral

Relaciones entre los modos de convergencia

Se puede probar que \[\begin{equation*} \text{Convergencia en Probabilidad} \implies \text{Convergencia en distribución} \end{equation*}\]

Para un resumen más detallado, les dejo este video donde se explica mucho mejor

https://www.youtube.com/watch?v=bTMnnrw0v2Y

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

Teorema: Si \(\bar{X}_n\) es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una distribución normal de media \(\mu\) y variancia \(\sigma^2\), entonces \(\bar{X}_n\) tiene una distribución normal con media \(\mu\) y variancia \(\sigma^2/n\), es decir, \(\bar{X}_n \thicksim N(\mu,\sigma^2/n)\)

Aplicación más común: valores de la tabla z (normal estándar).

Ejemplo:

Si \(X\) es una variable aleatoria con distribución normal con media 15 y variancia 16. Se toman muestras aleatorias de tamaño 9. Calcular \(P(12 < \bar{X}_n < 17)\).

\[ P(12 < \bar{X}_n < 17) = P\left(\frac{ 12-15 }{ 4/3 }<Z<\frac{ 17-15 }{ 4/3 }\right)\] \[ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = P(-2.25 < Z <1.5) = 0.9210\]

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

pnorm(17,mean=15,sd=sqrt(16/9))-pnorm(12,mean=15,sd=sqrt(16/9))

[1] 0.9209683

# lo cual es equivalente a 
pnorm(1.5)-pnorm(-2.25)

[1] 0.9209683

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

Teorema: Si \(X_1, X_2, ..., X_n\) es una muestra aleatoria con distribución normal con media \(\mu\) y variancia \(\sigma^2\), entonces:

\(\bar{X}\) y \(S^2\) son estocásticamente independientes.
La variable \(U = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\) tiene distribución \(\chi^2\) con \(n-1\) grados de libertad.
La densidad de \(S^2\) es la densidad gamma.

La prueba de este teorema está fuera de los contenidos de este curso.

Nota: Se puede usar para probar que \(Var(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}\) cuando asumimos que \(X_1, X_2, ..., X_n\) es una muestra aleatoria con distribución normal con media \(\mu\) y variancia \(\sigma^2\).

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

\[E \left ( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \right )=n-1\] \[\Rightarrow E \left ( S^2 \right )=\sigma^2.\]

\[Var \left ( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \right )= 2(n-1)\] \[\Rightarrow\frac{(n-1)^2}{\sigma^4} \cdot Var(S^2) = 2(n-1)\] \[\Rightarrow Var(S^2) = \frac{2\sigma^4(n-1)}{(n-1)^2}\] \[\Rightarrow Var(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}.\]

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

Teorema: Si \(X_1, X_2, ..., X_n\) es una muestra aleatoria con distribución normal con media \(\mu\) y variancia \(\sigma^2\), entonces la variable aleatoria: \(t = \frac{ (\bar{ X }-\mu) } { S/\sqrt{ n } }\) se distribuye como una \(t\) de Student con \(n-1\) grados de libertad.

Nota: La definición de una variable \(t\) de Student es \(Y = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2_{k}/k}}\).

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

Prueba:

Sabemos que \(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\) se distribuye como una \(N(0,1)\). Por teorema anterior sabemos que \(U = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}\). Del mismo teorema, sabemos que \(\bar{X}\) y \(S^2\) son independientes, y por los teorema (vistos en la clase de contínuos), sabemos que la definición de una variable \(t\) de Student es \(Y = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2/k}}\).

Por todo lo anterior:

\[ \frac{ \frac{ \bar{X}-\mu } { \sigma/\sqrt{ n } } } { \sqrt{\frac{ \frac{ (n-1)S^2 } { \sigma^2 }}{(n-1)} } }=\frac{ \bar{ X }-\mu } { S/\sqrt{ n } } \]

es una \(t\) de Student con \(n-1\) grados de libertad.

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

Teorema: Si \(X_1, X_2, ..., X_m\) es una muestra aleatoria con distribución normal con media \(\mu_X\) y variancia \(\sigma^2_X\). Sea \(Y_1, Y_2, ..., Y_n\) es una muestra aleatoria con distribución normal con media \(\mu_Y\) y variancia \(\sigma^2_Y\). Si ambas poblaciones son independientes entonces: \(\frac{S^2_X/\sigma^2_X}{S^2_Y/\sigma^2_Y}\) tiene una distribución \(F_{m-1, n-1}\).

Nota: La definición de una variable \(F_{a, b}\) de Fischer es \(Y = \frac{\chi^2_{a}/a}{\chi^2_{b}/b}\).

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

Prueba:

Por teorema sabemos que \(U = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\) tiene distribución \(\chi^2\) con \(n-1\) grados de libertad. Usando la definición de la distribución F podemos reescribir la división como la división de dos variables distribuidas como \(\chi^2\) con distintos grados de libertad:

\[ \frac{ \frac{ (m-1)S^2_X } { \sigma^2_X } /(m-1)} { \frac{ (n-1)S^2_Y } { \sigma^2_Y }/(n-1) } = \frac{ S^2_X/\sigma^2_X } { S^2_Y/\sigma^2_Y } \]

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

Teorema: Si \(X_1, X_2, ..., X_n\) es una muestra aleatoria con distribución normal con media \(\mu_X\) y variancia \(\sigma^2\). Sea \(Y_1, Y_2, ..., Y_m\) es una muestra aleatoria con distribución normal con media \(\mu_Y\) y variancia \(\sigma^2\). Si ambas poblaciones son independientes entonces:

\[ \frac{ (\bar{ X }-\bar{ Y })-(\mu_X-\mu_Y) } { S_p \sqrt{ \frac{1}{n}+\frac{1}{m} } }\]

se distribuye como una \(t\) de Student con \(n+m-2\) grados de libertad, donde

\[ S_p = \sqrt{ \frac{ (n-1)S^2_X+(m-1)S^2_Y } { n+m-2 } }.\]

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

Prueba:

Se sabe que:

\(\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_X-\mu_Y)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \sim N(0,1)\). Como \(\bar{X} \sim N(\mu_X,\sigma^2/n)\) y \(\bar{Y} \sim N(\mu_Y,\sigma^2/m)\) y por lo tanto, \((\bar{X}-\bar{Y}) \sim N(\mu_X-\mu_Y,\sigma^2/n+\sigma^2/m)\).
Además, \(\frac{(n-1)S^2_X}{\sigma^2}+\frac{(m-1)S^2_Y}{\sigma^2}\) es una \(\chi^2_{(n+m-2)}\) por teorema.

Por definición de una variable \(t\) de student, el cociente entre la \(N(0,1)\) de la parte a) y la raíz cuadrada de la parte b) dividida entre sus grados de libertad, es una \(t\) de student con \(n+m-2\) grados de libertad. Se se calcula el cociente y se simplifica, se obtiene la variable aleatoria del Teorema.

Propiedades de la media y variancia muestral (Caso Normal)

\[\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_X-\mu_Y)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}}{\sqrt{\frac{\frac{(n-1)S^2_X+(m-1)S^2_Y}{\sigma^2}}{n+m-2}}} &=& \frac{\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_X-\mu_Y)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}}{\frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{(n-1)S^2_X+(m-1)S^2_Y}{n+m-2}}}\\ &=& \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_X-\mu_Y)}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2_X+(m-1)S^2_Y}{n+m-2}}\cdot\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \\ \\ &=& \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_X-\mu_Y)}{S_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \end{eqnarray*}\]

Estadísticos de orden

Supongamos que se tiene una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una población infinita que tiene una función de densidad \(f(x)\) y función de distribución \(F(x)\).
Si los valores de estas variables aleatorias se ordenan de manera que al valor más bajo de las \(x\) se le asigna la variable \(X_{(1)}\), al siguiente valor de \(x\) se le asigna la variable \(X_{(2)}\) y de esta forma se continúa hasta que al mayor valor de \(x\) se le asigna la variable \(X_{(n)}\), esto genera un ordenamiento de la muestra aleatoria \(X_1, X_2, ..., X_n\) de manera que \(X_{(1)} < X_{(2)} < ... < X_{(n)}\).
Estas variables denotan los denominados estadísticos de orden. De este análisis surge la siguiente pregunta: ¿Cuál es la distribución del estadístico \(X_{(1)}\)?

Estadísticos de orden

Distribución del mínimo \(X_{(1)}\)

Sean las variables aleatorias \(X_{1},X_{2},...,X_{n}\) independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución \(F_X(x)\) y función de densidad \(f_X(x)\). Sea también la variable \(X_{(1)}\) definida por: \(X_{(1)}=\min(X_{1},X_{2},...,X_{n})\), Entonces, la función de distribución del mínimo de la muestra está dada por: \[F_{X_{(1)}}(x)=1-[1-F_X(x)]^{n},\]

y su función de densidad: \[f_{X_{(1)}}(x)=n[1-F_X(x)]^{n-1}f_X(x).\]

Estadísticos de orden

Prueba:

\(F_{X_{(1)}}(x) = P(X_{(1)}\leq x)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =P(\min(X_{1},...,X_{n})\leq x)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =1-P(\min(X_{1},...,X_{n})>x)\) (Complemento)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =1-P(X_{1}>x,X_{2}>x,...,X_{n}>x)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =1-P(X_{1}>x)\cdot P(X_{2}>x) \cdots P(X_{n}>x)\) (Independencia)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =1-[P(X_{1}>x)]^{n}\) (Distribución idéntica)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =1-[1-F_X(x)]^{n}\)

Del mismo modo, la función de densidad de \(X_{(1)}\) sería:

\(f_{X_{(1)}}(x)=F_{X_{(1)}}(x)'=(1-[1-F_X(x)]^{n})'= n[1-F_X(x)]^{n-1}f_X(x)\)

Estadísticos de orden

Distribución del máximo \(X_{(n)}\)

Sean las variables aleatorias \(X_{1},X_{2},...,X_{n}\) independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución \(F_X(x)\) y función de densidad \(f_X(x)\). Sea también la variable \(X_{(n)}\) definida por: \(X_{(n)}=\max(X_{1},X_{2},...,X_{n})\), Entonces, la función de distribución del máximo de la muestra está dada por: \[F_{X_{(n)}}(x)=[F_X(x)]^{n},\] y su función de densidad: \[f_{X_{(n)}}(x)=n[F_X(x)]^{n-1}f_X(x).\]

Estadísticos de orden

Distribución del máximo \(X_{(n)}\)

\(F_{X_{(n)}}(x) = P(X_{(n)}\leq x)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =P(\max(X_{1},...,X_{n})\leq x)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =P(X_{1}\leq x,X_{2}\leq x,...,X_{n}\leq x)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =P(X_{1}\leq x)\cdot P(X_{2}\leq x) \cdots P(X_{n}\leq x)\) (Independencia)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =[P(X_{1}\leq x)]^{n}\) (Distribución idéntica)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =[F_{X}(x)]^{n}\)

Del mismo modo, la función de densidad de \(X_{(n)}\) sería:

\(f_{X_{(n)}}(x)=F_{X_{(n)}}(x)'=([F_X(x)]^{n})'= n[F_X(x)]^{n-1}f_X(x)\)

Estadísticos de orden

Teorema: Sea \(X_1, X_2, ..., X_n\) una muestra aleatoria de una población infinita con función de densidad \(f_X(x)\) y función de distribución \(F_X(x)\). Si \(X_{(k)}\) representa el \(k\)-ésimo estadístico de orden, entonces la función de densidad viene dada por:

\[f_{X_{(k)}}(x)= \frac{ n! } { (k-1)!(n-k)! }[F_X(x)]^{ k-1 }[1-F_X(x)]^{ n-k }f_X(x)\]

Nota:

En particular se tiene que \(X_{(1)} = \min\{X_1, X_2, ..., X_n\}\) y \(X_{(n)} = \max\{X_1, X_2, ..., X_n\}\). Además si \(n = 2m + 1\), la mediana de la muestra corresponde al estadístico de orden \(X_{(m+1)}\). Si \(n=2m\), la mediana es \(\frac{1}{2}(X_{m}+X_{m+1})\).

Teorema: Para \(n\) grande, la distribución de muestreo de la mediana para muestras aleatorias de tamaño \(2n + 1\) es aproximadamente normal con media \(\mu\) (mediana poblacional) y variancia \(\frac{1}{8n[f(\mu)]^2}\).

Propiedades deseadas de un “buen” estimador

¿Cuáles son las propiedades deseadas de un buen estimador?

Básicamente se resume en la esperanza y la variancia del estimador.

Figura 1. Sesgo y Variancia. Fuente: https://www.slideshare.net/Stratio/lunchlearn-combinacin-de-modelos

Ejercicios

Se desea estimar la media \(\mu\) de una variable aleatoria \(X\). Para ello se toman \(10\) datos y se calcula su media muestral \(\bar{X}\) y la varianza de dichos datos \(\sigma^2_X\). Comente si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

Por el teorema central del límite sabemos que \(\mu\) será una variable aleatoria normal.
La media muestral con un conjunto de datos es un número y no una variable aleatoria.
La media muestral \(\bar{X}\) tiene siempre una distribución muestral normal.
Para disminuir la varianza de \(\bar{X}\) a la mitad habría que tomar al menos 100 datos.
Como la media muestral es un estimador insesgado, tenemos asegurado que \(\bar{X} = \mu\)