Ejercicios Distribuciones de Probabilidad

[XS-1130 Principios de Inferencia]

Christopher Torres Rojas
christopher.torres@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Indicaciones generales

Para cada ejercicio:

  1. Defina la variable aleatoria de interés.
  2. Identifique el modelo de probabilidad (función de densidad) que corresponde y justifique su elección. Determine los valores de los parámetros.
  3. Plantee cada probabilidad en notación formal antes de calcularla. \(P(X<x), P(X=x),..., etc\)
  4. Interprete los resultados en el contexto del enunciado. (No solo calcule el valor, recuerde interpretar).
  5. Recuerde que puede consultarme o asistir a consulta. Ánimo!

Ejercicios 1 al 5

En una planta de tratamiento de aguas se registran fallas eléctricas de manera independiente a lo largo del tiempo. No se conoce el promedio mensual de fallas, pero los registros históricos indican que la desviación estándar del número de fallas por mes es de 2 fallas.

  1. Determine el valor del parámetro de la distribución. Justifique el procedimiento.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes ocurran exactamente 3 fallas?
  3. Calcule la probabilidad de que en un mes ocurran a lo sumo 2 fallas.
  4. Determine la probabilidad de que en un mes ocurran al menos 6 fallas.
  5. Halle la probabilidad de que el número de fallas esté entre 2 y 5 (ambos inclusive).
  6. Calcule la probabilidad de registrar menos de 2 fallas o más de 7 fallas.
  7. Determine la esperanza, la varianza y la desviación estándar del número mensual de fallas.
  8. Encuentre el percentil 90 e interprételo como una recomendación de mantenimiento.

El rendimiento por hectárea de un cultivo de arroz sigue una distribución normal con media 48 quintales y desviación estándar 7.5 quintales.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que una hectárea rinda menos de 38 quintales?
  2. Determine la probabilidad de que el rendimiento supere los 60 quintales.
  3. Halle la probabilidad de que el rendimiento esté entre 42 y 55 quintales.
  4. Estandarice un rendimiento de 63.75 quintales e interprete el valor obtenido.
  5. Una parcela obtuvo un rendimiento estandarizado de \(z = -1.4\). ¿Cuál fue su rendimiento en quintales?
  6. Encuentre el rendimiento que solo es superado por el 10% de las hectáreas.
  7. Determine la esperanza, la varianza y la desviación estándar del rendimiento.

Un comité de auditoría interna debe revisar un archivo institucional que contiene 45 expedientes, de los cuales 18 presentan inconsistencias contables. Se seleccionan 9 expedientes al azar y sin reemplazo.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 expedientes seleccionados presenten inconsistencias?
  2. Calcule la probabilidad de que a lo sumo 2 presenten inconsistencias.
  3. Determine la probabilidad de que al menos 6 presenten inconsistencias.
  4. Halle la probabilidad de que el número de expedientes con inconsistencias esté entre 3 y 7, incluyendo el 3 y excluyendo el 7.
  5. Calcule la probabilidad de que más de 5 expedientes estén en orden.
  6. Determine la esperanza, la varianza y la desviación estándar del número de expedientes con inconsistencias.
  7. Dibuje a mano la función de probabilidad y señale sobre el eje horizontal la posición del percentil 25, la mediana y el percentil 90. Verifique después sus ubicaciones en R.

Sea \(T\) una variable aleatoria con distribución \(t\) de Student con 15 grados de libertad.

  1. Indique la esperanza, la varianza y la desviación estándar de \(T\).
  2. Calcule \(P(T < -1.341)\).
  3. Determine \(P(T > 2.602)\).
  4. Halle \(P(-1.753 \le T \le 2.131)\).
  5. Encuentre el percentil 95 y compárelo con el percentil 95 de una normal estándar. Explique la diferencia.
  6. Determine el valor \(t_0\) tal que \(P(|T| > t_0) = 0.02\).
  7. Grafique en un mismo gráfico la densidad de \(T\) y la de una normal estándar, y señale sobre el eje los dos percentiles del inciso e.

Una bióloga recorre un humedal revisando nidos uno por uno. La probabilidad de que un nido contenga huevos de la especie en estudio es de 0.22, y cada nido es independiente de los demás. La bióloga continúa el recorrido hasta encontrar el cuarto nido con huevos. Sea \(X\) el número de nidos sin huevos que revisa antes de detenerse.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que revise exactamente 9 nidos sin huevos?
  2. Calcule la probabilidad de que revise a lo sumo 12 nidos sin huevos.
  3. Determine la probabilidad de que revise al menos 20 nidos sin huevos.
  4. Halle la probabilidad de que el número de nidos sin huevos esté entre 8 y 18, excluyendo el 8 e incluyendo el 18.
  5. Determine la esperanza, la varianza y la desviación estándar de \(X\).
  6. Encuentre el percentil 95 de \(X\) e interprételo en términos de la planificación de la jornada de campo.
  7. ¿Cuántos nidos en total se espera que revise la bióloga?

Ejercicios 6 al 10

La concentración de un mineral en muestras de suelo sigue una distribución normal con una varianza poblacional conocida de 6.25 (mg/kg)². Un laboratorio analiza 21 muestras seleccionadas al azar y calcula la varianza muestral \(S^2\).

  1. Identifique la distribución que sigue el estadístico \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\), justifique su respuesta e indique sus grados de libertad, su esperanza y su varianza.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral supere los 10 (mg/kg)²?
  3. Determine la probabilidad de que la varianza muestral sea menor que 3 (mg/kg)².
  4. Halle la probabilidad de que la varianza muestral se ubique entre 4 y 9 (mg/kg)².
  5. Encuentre los percentiles 2.5 y 97.5 del estadístico y determine los valores de \(S^2\) que les corresponden.
  6. Grafique la densidad del estadístico y sombree el área del inciso b.

Una aplicación móvil registra que el 35% de las personas que inician el proceso de registro lo abandona antes de completarlo. Se observan 22 usuarios de manera independiente en una población muy numerosa.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 usuarios abandonen el registro?
  2. Calcule la probabilidad de que menos de 5 usuarios lo abandonen.
  3. Determine la probabilidad de que al menos 18 usuarios completen el registro.
  4. Halle la probabilidad de que el número de abandonos esté entre 6 y 11, incluyendo el 6 y excluyendo el 11.
  5. Determine la esperanza, la varianza y la desviación estándar del número de abandonos.
  6. Encuentre el percentil 90 del número de abandonos.
  7. Grafique la función de probabilidad.

Sea \(Z\) una variable aleatoria con distribución normal estándar.

  1. Dibuje a mano la función de densidad en el intervalo \([-3.5,\, 3.5]\), señalando la media y los puntos de inflexión ubicados a una desviación estándar de la media.
  2. Sobre el mismo dibujo, ubique en el eje horizontal los percentiles 2.5, 25, 50, 75 y 97.5, y sombree la región central que queda delimitada por el primero y el último.
  3. Calcule \(P(Z < -0.67)\) y \(P(Z > 1.28)\). Relacione cada resultado con los percentiles que dibujó.
  4. Determine \(P(-1.96 \le Z < 2.58)\).
  5. Encuentre el valor \(z_0\) tal que \(P(Z > z_0) = 0.025\).
  6. Encuentre el valor \(z_0\) tal que \(P(|Z| \le z_0) = 0.80\).
  7. Verifique en R los cinco percentiles del inciso b y compárelos con las posiciones que dibujó a mano.

Durante la época lluviosa, en un tramo de carretera de montaña se registran en promedio 1.6 deslizamientos por cada 4 kilómetros. Los eventos ocurren de forma independiente a lo largo del tramo.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que en 4 kilómetros ocurran exactamente 2 deslizamientos?
  2. Calcule la probabilidad de que en 1 kilómetro no ocurra ningún deslizamiento.
  3. Determine la probabilidad de que en 20 kilómetros ocurran más de 8 deslizamientos.
  4. Halle la probabilidad de que en 10 kilómetros el número de deslizamientos esté entre 3 y 6, incluyendo el 3 y excluyendo el 6.
  5. Calcule la probabilidad de registrar a lo sumo 5 deslizamientos en 12 kilómetros.
  6. Determine la esperanza, la varianza y la desviación estándar del número de deslizamientos en 20 kilómetros.
  7. Encuentre el percentil 99 del número de deslizamientos en 10 kilómetros y grafique la función de probabilidad para ese tramo.

El tiempo de secado de una pintura industrial sigue una distribución normal con media 145 minutos. La desviación estándar poblacional es desconocida, pero en una muestra aleatoria de 16 latas se obtuvo una desviación estándar muestral de 12 minutos.

  1. Identifique la distribución que sigue el estadístico \(\dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\), justifique su respuesta e indique sus grados de libertad, su esperanza y su varianza.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de secado de la muestra supere los 152 minutos?
  3. Determine la probabilidad de que el tiempo promedio sea menor que 140 minutos.
  4. Halle la probabilidad de que el tiempo promedio se ubique entre 142 y 150 minutos.
  5. Encuentre el percentil 95 del tiempo promedio de secado, desestandarizando el valor obtenido para expresarlo en minutos.
  6. Determine el valor \(t_0\) tal que \(P(-t_0 \le T \le t_0) = 0.98\) y obtenga los tiempos promedio que le corresponden.

Ejercicios 11 al 15

Una variable aleatoria sigue una distribución ji-cuadrado. No se conoce su parámetro, pero se sabe que su desviación estándar es 6.

  1. Determine los grados de libertad y la esperanza de la variable. Justifique el procedimiento.
  2. Calcule la probabilidad de que la variable supere el valor 28.87.
  3. Determine la probabilidad de que la variable sea menor que 9.39.
  4. Halle la probabilidad de que la variable se ubique entre 12 y 25.
  5. Encuentre el percentil 99 de la distribución.
  6. Determine los percentiles 5 y 95, y explique por qué no son simétricos respecto de la esperanza.
  7. Grafique la función de densidad señalando la esperanza y los dos percentiles del inciso f.

Un proceso de reclutamiento entrevista candidatos uno por uno de forma independiente y registra cuántos son rechazados antes de completar todas las contrataciones requeridas. Sea \(X\) el número de candidatos rechazados. Se sabe únicamente que \(E(X) = 12\) y que \(\operatorname{Var}(X) = 30\).

  1. Determine la probabilidad de éxito y el número de contrataciones requeridas. Justifique el procedimiento algebraico.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechacen exactamente 10 candidatos?
  3. Calcule la probabilidad de que se rechacen a lo sumo 7 candidatos.
  4. Determine la probabilidad de que se rechacen al menos 20 candidatos.
  5. Halle la probabilidad de que el número de rechazos esté entre 9 y 16, excluyendo el 9 e incluyendo el 16.
  6. Determine la desviación estándar de \(X\).
  7. Encuentre el percentil 95 de \(X\) y, a partir de él, cuántas entrevistas en total debería programar el departamento de recursos humanos.

En un humedal se capturaron, marcaron y liberaron 15 aves de una población estimada en 60 individuos. Semanas después se capturan 8 aves al azar y sin reemplazo.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 aves capturadas estén marcadas?
  2. Calcule la probabilidad de que a lo sumo 1 ave capturada esté marcada.
  3. Determine la probabilidad de que al menos 6 aves capturadas no estén marcadas.
  4. Halle la probabilidad de que el número de aves marcadas esté entre 2 y 5 (ambos inclusive).
  5. Determine la esperanza, la varianza y la desviación estándar del número de aves marcadas.
  6. Encuentre el percentil 90 del número de aves marcadas y grafique la función de probabilidad.

Sean \(Z_1, Z_2, \dots, Z_{10}\) variables aleatorias independientes, cada una con distribución normal estándar.

  1. Identifique la distribución de \(W = \sum_{i=1}^{10} Z_i^2\) y determine su esperanza, su varianza y su desviación estándar.
  2. Calcule \(P(W > 18.31)\).
  3. Determine \(P(W \le 3.94)\).
  4. Sean \(V_1\) y \(V_2\) independientes, obtenidas respectivamente de muestras de tamaño 6 y de tamaño 9 tomadas de poblaciones normales, mediante \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\). Identifique la distribución de \(V_1 + V_2\) y calcule \(P(V_1 + V_2 > 22.36)\).
  5. Identifique la distribución de \(Z_1^2\) y calcule \(P(Z_1^2 > 3.84)\) de dos maneras distintas, verificando que coinciden.
  6. Sea \(Z\) una normal estándar independiente de \(W\). Identifique la distribución de \(\dfrac{Z}{\sqrt{W/10}}\) y calcule la probabilidad de que supere 1.812.

Un sistema de control de calidad registra el número de unidades defectuosas en lotes de igual tamaño, revisadas de forma independiente. Se sabe únicamente que en promedio se encuentran 9 unidades defectuosas por lote y que la varianza es de 6.3.

  1. Determine el tamaño del lote y la probabilidad de que una unidad sea defectuosa. Justifique el procedimiento algebraico.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote haya exactamente 12 unidades defectuosas?
  3. Calcule la probabilidad de que haya a lo sumo 5 unidades defectuosas.
  4. Determine la probabilidad de que haya al menos 14 unidades defectuosas.
  5. Halle la probabilidad de que el número de defectuosas esté entre 7 y 12, incluyendo el 7 y excluyendo el 12.
  6. Determine la desviación estándar del número de unidades defectuosas y la esperanza del número de unidades en buen estado.
  7. Encuentre el percentil 95 y grafique la función de probabilidad.