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[1] 71.28 374.72[XS-1130 Principios de Inferencia]
Hasta ahora se ha estimado un parámetro de una sola población. Con frecuencia interesa comparar dos poblaciones:
El parámetro de interés
Ahora el parámetro es la diferencia \(\mu_1 - \mu_2\), y el estimador puntual es \(\bar{x}_1 - \bar{x}_2\).
\[E(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = \mu_1 - \mu_2\]
Si las muestras son independientes, las varianzas se suman:
\[\operatorname{Var}(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}\]
La regla del cero
Si el intervalo contiene el 0, no se puede afirmar que exista diferencia entre las dos poblaciones.
Si el intervalo es completamente positivo, se concluye que \(\mu_1 > \mu_2\).
Si el intervalo es completamente negativo, se concluye que \(\mu_1 < \mu_2\).
Esta es la diferencia más importante respecto a los intervalos de un solo parámetro: el intervalo ya no solo mide precisión, sino que permite tomar una decisión sobre si hay o no diferencia.
\[\Large (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}\]
Se usa cuando ambas poblaciones son normales, o cuando ambas muestras son grandes.
Cuando \(n_1 > 30\) y \(n_2 > 30\), se sustituyen las varianzas poblacionales por las muestrales:
\[\Large (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}\]
Ejemplo 17. Seguros Inseguros S.A. desea estimar la diferencia en las reclamaciones promedio de las personas que viven en zonas urbanas y en los suburbios. De las 180 pólizas urbanas se reportó una reclamación promedio de $2025 con desviación estándar de $918. Las 200 pólizas suburbanas revelaron una reclamación promedio de $1802 con \(s = \$512\). Concluya con un 95% de confianza.
\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 2025 - 1802 = 223\]
\[ee = \sqrt{\frac{918^2}{180} + \frac{512^2}{200}} = \sqrt{4681.80 + 1310.72} = \sqrt{5992.52} = 77.41\]
\[d = 1.96 \times 77.41 = 151.73\]
\[IC_{95\%} = 223 \pm 151.73 = (71.27,\; 374.73)\]
[1] 71.28 374.72Conclusión
Con 95% de confianza, la reclamación promedio en zona urbana es entre $71.27 y $374.73 mayor que en la zona suburbana. Como el intervalo no contiene el cero, sí hay diferencia.
Si ambas poblaciones son normales, \(n \le 30\) y se puede suponer \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\), se combinan las dos varianzas muestrales en una varianza ponderada:
\[\Large s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\]
\[\Large (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \; \pm \; t_{1-\alpha/2,\;n_1+n_2-2}\;\; s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\]
Nota
La varianza ponderada es un promedio ponderado por los grados de libertad de cada muestra: la muestra más grande aporta más información sobre la varianza común. Los grados de libertad del intervalo son \(n_1 + n_2 - 2\), es decir, se aprovechan ambas muestras.
Diecisiete latas de Kola Cola presentan una media de 17.2 onzas con desviación estándar de 3.2 onzas, y 13 latas de Pepzi producen una media de 18.1 onzas con 2.7 onzas de desviación estándar. Asumiendo varianzas poblacionales iguales y distribuciones normales, concluya con un 98% de confianza.
Solución a mano:
\[s_p^2 = \frac{16(3.2)^2 + 12(2.7)^2}{17+13-2} = \frac{163.84 + 87.48}{28} = 8.9757 \quad \Rightarrow \quad s_p = 2.9959\]
\[ee = 2.9959\sqrt{\tfrac{1}{17}+\tfrac{1}{13}} = 2.9959 \times 0.36844 = 1.1038\]
\[gl = 28, \quad t_{0.99,\,28} = 2.4671 \quad \Rightarrow \quad d = 2.7233\]
\[IC_{98\%} = -0.9 \pm 2.7233 = (-3.62,\; 1.82)\]
sp2 sp ee gl t_critico
8.9757 2.9959 77.4114 28.0000 2.4671 Conclusión
El intervalo contiene el cero, de modo que con un 98% de confianza no se puede afirmar que exista diferencia en los pesos promedio de ambas bebidas.
Cuando no se puede suponer \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\) se usa la aproximación de Welch:
\[ (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \; \pm \; t_{1-\alpha/2,\;\nu}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\]
con grados de libertad aproximados por:
\[ \nu = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}\]
Nota
El valor de \(\nu\) casi nunca es entero; se trunca hacia abajo o se usa tal cual en R.
Mario toma muestras de apartamentos en la sección norte y sur para ver si existen diferencias en el costo promedio de la renta. Los 7 apartamentos del norte tienen una renta promedio de $682.86 y los 8 del sur, $531.25. Las varianzas son 9057.14 y 17098.21 respectivamente. No hay evidencia de que las varianzas poblacionales sean iguales. Construya un intervalo del 99%.
diferencia ee gl_welch t_critico
151.6100 58.5760 12.6374 3.0267 \(\small \text{El intervalo contiene el cero: al 99\% de confianza no se puede afirmar que las rentas promedio difieran.}\)
¿Cuándo son pareadas?
Los dos grupos de observaciones no son independientes: cada observación del primer grupo está emparejada con una del segundo.
Ejemplos: puntajes antes y después de una capacitación; precios del mismo producto en dos tiendas; tiempo de atención del mismo trámite en la mañana y en la tarde por los mismos cajeros, altura de padres e hijos
El procedimiento reduce el problema de dos muestras a una sola: se trabaja con las diferencias \(d_i = x_{i} - y_{i}\).
\[\bar{d} = \frac{\sum d_i}{n} \qquad s_d = \sqrt{\frac{\sum(d_i-\bar d)^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{\sum d_i^2 - n\bar{d}^2}{n-1}}\]
\[\Large \bar{d} \; \pm \; t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s_d}{\sqrt{n}}\]
Puntajes de una prueba antes y después de una capacitación, para 10 empleados:
| Empleado | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Suma |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Antes \((x_i)\) | 9.0 | 7.3 | 6.7 | 5.3 | 8.7 | 6.3 | 7.9 | 7.3 | 8.0 | 7.5 | 74.0 |
| Después \((y_i)\) | 9.2 | 8.2 | 8.5 | 4.9 | 8.9 | 5.8 | 8.2 | 7.8 | 9.5 | 8.0 | 79.0 |
| \(d_i\) | -0.2 | -0.9 | -1.8 | 0.4 | -0.2 | 0.5 | -0.3 | -0.5 | -1.5 | -0.5 | -5.0 |
| \(d_i^2\) | 0.04 | 0.81 | 3.24 | 0.16 | 0.04 | 0.25 | 0.09 | 0.25 | 2.25 | 0.25 | 7.38 |
\[\bar{d} = \frac{-5}{10} = -0.5 \qquad s_d = \sqrt{\frac{7.38 - 10(-0.5)^2}{9}} = \sqrt{\frac{4.88}{9}} = 0.7364\]
\[t_{0.95,\,9} = 1.8331 \qquad d = 1.8331\frac{0.7364}{\sqrt{10}} = 0.4268\]
\[IC_{90\%} = -0.5 \pm 0.4268 = (-0.927,\; -0.073)\]
d_barra s_d ee
-0.5000 0.7364 0.2329 [1] -0.9269 -0.0731Conclusión
Con un 90% de confianza, el puntaje promedio después de la capacitación es entre 0.073 y 0.927 puntos más alto que antes. Como el intervalo no contiene el cero, la capacitación sí produjo un cambio.
ee_pareado ee_como_independientes
0.2328567 0.5794634 Importante
El error estándar pareado es mucho menor. Al emparejar se elimina la variabilidad entre personas: no importa que un empleado sea mucho mejor que otro, porque cada uno se compara consigo mismo. Solo queda la variabilidad del efecto del tratamiento.
Tratar datos pareados como independientes desperdicia esa ganancia y puede llevar a concluir que no hay diferencia cuando sí la hay.
Para resolver ahora
Se comparan los rendimientos académicos de dos secciones de un mismo curso. La sección A tiene 12 estudiantes con promedio 78.4 y desviación estándar 8.1; la sección B tiene 14 estudiantes con promedio 72.9 y desviación estándar 7.6. Se supone normalidad en ambas poblaciones, suponga que las varianzas poblacionales son iguales.
Con dos muestras independientes y grandes, por el TLC:
\[\hat{p}_1 - \hat{p}_2 \;\; \dot\sim \;\; N\!\left(P_1 - P_2,\;\; \frac{P_1Q_1}{n_1}+\frac{P_2Q_2}{n_2}\right)\]
Por ende se utiliza como intervalo:
\[\Large (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\]
Importante
Condiciones: en cada muestra debe cumplirse \(n_i\hat{p}_i \ge 10\) y \(n_i(1-\hat{p}_i) \ge 10\).
De 150 hombres y 130 mujeres, un 27% y un 35% respectivamente afirmaron que utilizaban tarjetas de crédito para comprar regalos de navidad. Calcule e interprete el intervalo del 99% para la diferencia entre la proporción de hombres y de mujeres.
Solución a mano:
\[\hat p_1 - \hat p_2 = 0.27 - 0.35 = -0.08\]
\[ee = \sqrt{\frac{0.27(0.73)}{150}+\frac{0.35(0.65)}{130}} = \sqrt{0.0013140 + 0.0017500} = 0.05535\]
\[d = 2.5758 \times 0.05535 = 0.1426 \qquad IC_{99\%} = (-0.2226,\; 0.0626)\]
[1] 40.5 109.5 45.5 84.5[1] -0.2226 0.0626Conclusión
El intervalo contiene el cero, por lo que con un 99% de confianza no se puede afirmar que exista diferencia entre la proporción de hombres y la de mujeres que usan tarjeta de crédito para comprar regalos.
Para resolver ahora
En una encuesta sobre hábitos de reciclaje se entrevistó a 320 personas de zona urbana, de las cuales 198 declararon separar residuos, y a 280 personas de zona rural, de las cuales 140 lo hacen.
| Parámetro | Situación | Intervalo |
|---|---|---|
| \(\mu\) | Normal, \(\sigma\) conocida | \(\bar{x} \pm z\,\sigma/\sqrt{n}\) |
| \(\mu\) | \(n>30\), \(\sigma\) desconocida | \(\bar{x} \pm z\,s/\sqrt{n}\) |
| \(\mu\) | Normal, \(n\le 30\), \(\sigma\) desconocida | \(\bar{x} \pm t_{n-1}\,s/\sqrt{n}\) |
| \(P\) | \(n\hat p \ge 10\) y \(n\hat q \ge 10\) | \(\hat p \pm z\sqrt{\hat p\hat q/n}\) |
| \(\mu_1-\mu_2\) | Independientes, \(n\) grandes | \((\bar x_1-\bar x_2) \pm z\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}\) |
| \(\mu_1-\mu_2\) | Independientes, \(n\) pequeños, \(\sigma\) iguales | \((\bar x_1-\bar x_2) \pm t_{n_1+n_2-2}\,s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}\) |
| \(\mu_1-\mu_2\) | Independientes, \(n\) pequeños, \(\sigma\) distintas | \((\bar x_1-\bar x_2) \pm t_{\nu}\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}\) |
| \(\mu_D\) | Pareadas | \(\bar d \pm t_{n-1}\,s_d/\sqrt{n}\) |
| \(P_1-P_2\) | Independientes, \(n\) grandes | \((\hat p_1-\hat p_2)\pm z\sqrt{\frac{\hat p_1\hat q_1}{n_1}+\frac{\hat p_2\hat q_2}{n_2}}\) |
En todos los casos de una sola población: si se conoce \(N\), multiplique el error estándar por \(\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\).
Siga este orden
¿Cuál es el parámetro? ¿Media, proporción, varianza, una diferencia?
¿Una o dos poblaciones? Si son dos, ¿las muestras son independientes o pareadas?
¿La población es normal? ¿O el \(n\) es suficientemente grande para invocar el TLC?
¿Se conoce \(\sigma\)? Si no, ¿el \(n\) es mayor o menor que 30?
¿El muestreo es sin reemplazo y se conoce N? Aplique el factor de corrección.
¿Cuál es el nivel de confianza pedido?
| Función | Uso |
|---|---|
qnorm(1-alpha/2) |
Valor crítico \(z\) |
qt(1-alpha/2, df) |
Valor crítico \(t\) |
t.test(x, conf.level=) |
IC para \(\mu\) con \(t\) |
t.test(x, y, var.equal=TRUE) |
IC para \(\mu_1-\mu_2\), varianzas iguales |
t.test(x, y, paired=TRUE) |
IC para muestras pareadas |
prop.test(x, n, correct=FALSE) |
IC para \(P\) y para \(P_1-P_2\) |
Un hospital compara el tiempo de espera, en minutos, de dos de sus clínicas. En la clínica A se registraron 85 pacientes con un tiempo promedio de 42.6 minutos y una desviación estándar de 11.4 minutos. En la clínica B se registraron 110 pacientes distintos, con un tiempo promedio de 37.2 minutos y una desviación estándar de 9.8 minutos. Resuelva a mano.
Se compara el rendimiento, en kg por parcela, de dos variedades de frijol sembradas en parcelas distintas. De la variedad 1 se cosecharon 10 parcelas con un rendimiento promedio de 24.6 kg y una desviación estándar de 3.4 kg. De la variedad 2 se cosecharon 12 parcelas con un rendimiento promedio de 22.9 kg y una desviación estándar de 2.9 kg. Ambas poblaciones son normales y se puede suponer que las varianzas poblacionales son iguales. Resuelva a mano.
Dos proveedores entregan lotes de un insumo cuya pureza, en porcentaje, se distribuye normalmente. De 8 lotes del proveedor 1 se obtuvo una pureza promedio de 94.2 con una varianza muestral de 6.25. De 9 lotes del proveedor 2 se obtuvo una pureza promedio de 90.8 con una varianza muestral de 24.01. No se puede suponer que las varianzas poblacionales sean iguales. Resuelva a mano.
Un entrenador mide el tiempo, en segundos, que tardan 8 atletas en completar un circuito, al inicio y al final de cuatro semanas de acondicionamiento. Resuelva a mano.
| Atleta | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Inicio | 45.2 | 48.6 | 43.9 | 50.1 | 46.8 | 44.5 | 49.3 | 47.0 |
| Final | 43.8 | 47.1 | 43.5 | 47.9 | 45.9 | 44.0 | 47.2 | 46.1 |
Una finca recibió 18 novillos y los asignó al azar a dos dietas, 9 a cada una. Al cabo de tres meses se registró el peso, en kg, de cada animal. Los pesos aparecen en el orden en que se pasaron por la báscula. Se puede suponer normalidad en ambas poblaciones y que las varianzas poblacionales son iguales. Resuelva a mano.
| Observación | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Dieta A | 352 | 341 | 368 | 335 | 359 | 347 | 372 | 338 | 356 |
| Dieta B | 330 | 343 | 317 | 351 | 325 | 338 | 321 | 347 | 334 |
Un laboratorio compara dos métodos para medir el contenido de hierro, en mg/L, en el agua. Se tomaron 10 muestras de agua de pozos distintos y cada muestra se dividió en dos partes: una se analizó con el método 1 y la otra con el método 2. Resuelva a mano.
| Pozo | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Método 1 | 0.14 | 0.62 | 0.35 | 0.88 | 0.21 | 0.47 | 0.73 | 0.29 | 0.55 | 0.41 |
| Método 2 | 0.18 | 0.67 | 0.38 | 0.94 | 0.25 | 0.50 | 0.79 | 0.33 | 0.58 | 0.46 |
En un estudio sobre deserción escolar se revisaron los expedientes de 260 estudiantes de colegios diurnos, de los cuales 39 abandonaron el año lectivo, y los de 180 estudiantes de colegios nocturnos, de los cuales 45 lo abandonaron. Resuelva a mano.
Se registraron los precios, en colones, de un mismo producto en sucursales distintas de dos cadenas de supermercados. Ambas poblaciones son normales y se puede suponer que las varianzas poblacionales son iguales. Resuelva en R construyendo el intervalo paso a paso, usando solo mean, var, sd, sqrt, qnorm y qt. No use t.test.
Se midió el rendimiento de combustible, en km por litro, de 9 vehículos con el combustible habitual y luego con un aditivo nuevo. Resuelva en R usando las funciones usuales.
t.test, usando los argumentos que correspondan al diseño.t.test(aditivo, habitual, var.equal = TRUE) y t.test(aditivo, habitual).mean, sd y qt sobre el vector de diferencias.En una campaña de vacunación se comparó el efecto de enviar un recordatorio por mensaje de texto. De 420 personas que recibieron el recordatorio, 294 completaron el esquema. De 380 personas que no lo recibieron, 228 lo completaron.
prop.test(c(294, 228), c(420, 380), correct = FALSE) y verifique que coincide con el inciso b.correct = TRUE. ¿El intervalo se ensancha o se angosta? Investigue qué hace ese argumento.prop.test(294, 420, correct = FALSE) y compárelo con el intervalo que da la fórmula vista en clase para una proporción. No coinciden exactamente: investigue cuál intervalo reporta R en ese caso y por qué se prefiere cuando \(\hat p\) está cerca de 0 o de 1.Indique si cada afirmación es falsa o verdadera y justifique su respuesta en una línea.
Responda de forma breve.
t.test(x, y, paired = TRUE) y t.test(x, y, var.equal = TRUE) dan resultados distintos con los mismos vectores?var.test en R y qué relación tiene con la decisión entre la varianza ponderada y la aproximación de Welch.Complete cada enunciado con el concepto que corresponde.