Estimación Parte 2

[XS-1130 Principios de Inferencia]

Christopher Torres Rojas

christopher.torres@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Estimación puntual de la media y la proporción

Para la media poblacional

\[\hat{\mu} = \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]

Es insesgado, consistente, suficiente y de varianza mínima.

Error estándar sin factor de corrección (población infinita o \(N\) desconocido):

\[\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad\qquad \hat{\sigma}_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}\]

Error estándar con factor de corrección (población finita de tamaño \(N\) conocido):

\[\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \qquad\qquad \hat{\sigma}_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]

Estimación puntual de la media y la proporción

Para la proporción poblacional

\[\hat{P} = \hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n} I_{éxito_i} }{n} = \frac{\text{número de elementos con el atributo}}{\text{tamaño de la muestra}}\]

Error estándar sin factor de corrección (población infinita o \(N\) desconocido):

\[\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{P(1-P)}{n}} \qquad\qquad \hat{\sigma}_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Error estándar con factor de corrección (población finita de tamaño \(N\) conocido):

\[\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \qquad\qquad \hat{\sigma}_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]

Para la varianza poblacional

\[\hat{\sigma}^2 = s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\]

Regla práctica sobre el factor de corrección

Convenio que usaremos en el curso

En los textos aparece la regla de omitir el factor cuando la fracción de muestreo \(n/N\) es pequeña, porque en ese caso \(\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \approx 1\) y el ajuste casi no cambia el resultado.

Para simplificar:

• Si se conoce \(N\) (población finita, muestreo sin reemplazo), se usa el factor de corrección, sin importar cuánto valga \(n/N\).

El factor nunca estorba: cuando \(n/N\) es pequeño vale casi 1 y el intervalo prácticamente no se altera; cuando \(n/N\) es grande, omitirlo produce intervalos innecesariamente anchos.

Ejemplo 1: Estimación puntual de la Media

Una muestra aleatoria de 12 hogares de un condominio de 150 hogares registró el siguiente consumo eléctrico mensual, en kWh:

\[210,\; 185,\; 240,\; 198,\; 265,\; 172,\; 231,\; 209,\; 254,\; 190,\; 223,\; 245\]

Solución paso a paso. Datos: \(n = 12\), \(N = 150\).

1. Media muestral: \(\bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \dfrac{2\,622}{12} = 218.5 \text{ kWh}\)

2. Varianza muestral: \(s^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \dfrac{9\,443}{11} = 858.4545\)

3. Desviación estándar muestral: \(s = \sqrt{858.4545} = 29.2994\)

Ejemplo 1: Error Estándar de la Media

4. Error estándar sin corrección: \(\hat{\sigma}_{\bar{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{29.2994}{\sqrt{12}} = \dfrac{29.2994}{3.4641} = 8.4580\)

5. Factor de corrección, pues se conoce \(N = 150\): \(\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}} = \sqrt{\dfrac{150-12}{150-1}} = \sqrt{\dfrac{138}{149}} = \sqrt{0.9262} = 0.9624\)

6. Error estándar corregido: \(\hat{\sigma}_{\bar{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}} = 8.4580 \times 0.9624 = 8.1398\)

Ejemplo 1 en R

\[\hat{\sigma}_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]

x <- c(210, 185, 240, 198, 265, 172, 231, 209, 254, 190, 223, 245)
N <- 150                 # tamaño de la población
n <- length(x)           # tamaño de la muestra

xbar <- mean(x)          # estimación puntual de mu
s2   <- var(x)           # estimación puntual de sigma^2
s    <- sd(x)            # raíz de s2

round(c(n = n, Promedio = xbar, Var = s2, Des = s), 4)

       n Promedio      Var      Des 
 12.0000 218.5000 858.4545  29.2994 

ee_sin <- s/sqrt(n)                   # error estándar sin corregir
fc     <- sqrt((N - n)/(N - 1))       # factor de corrección
ee_con <- ee_sin * fc                 # error estándar corregido

round(c(ee_sin = ee_sin, fc = fc, ee_con = ee_con), 4)

ee_sin     fc ee_con 
8.4580 0.9624 8.1398 

Se conoce \(N = 150\), por lo tanto el error estándar reportado es el corregido: 8.1398.

Ejemplo 2: proporción y su error estándar

De los 12 hogares anteriores, 5 superaron los 220 kWh.

Solución paso a paso. Datos: \(n = 12\), \(N = 150\), \(5 \text{ éxitos}\).

1. Estimación puntual: \(\hat{p} = \dfrac{\text{número de hogares con el atributo}}{n} = \dfrac{5}{12} = 0.4167\)

2. Error estándar sin corrección: \(\hat{\sigma}_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0.4167 \times 0.5833}{12}} = \sqrt{0.020255} = 0.1423\)

3. Error estándar con el factor de corrección: \(\hat{\sigma}_{\hat{p}} = 0.1423 \times \sqrt{\dfrac{138}{149}} = 0.1423 \times 0.9624 = 0.1370\)

Ejemplo 2 en R

\[\hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n} I_{éxito_i} }{n} \qquad\qquad \hat{\sigma}_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]

x <- 5                   # número de éxitos en la muestra
n <- 12                  # tamaño de la muestra
N <- 150                 # tamaño de la población

p_hat <- x/n             # estimación puntual de P

ee_sin <- sqrt(p_hat*(1 - p_hat)/n)
fc     <- sqrt((N - n)/(N - 1))
ee_con <- ee_sin * fc

round(c(p_hat = p_hat, ee_sin = ee_sin, fc = fc, ee_con = ee_con), 4)

 p_hat ee_sin     fc ee_con 
0.4167 0.1423 0.9624 0.1370 

Observación

Con \(n = 12\) se cumple \(n\hat p = 5 < 10\), de modo que la aproximación normal todavía no es adecuada. La estimación puntual y su error estándar sí se pueden calcular; el intervalo de confianza no sería confiable.

Intervalos de confianza para la media

Estructura general

Todos los intervalos para \(\mu\) tienen la misma forma:

\[\Large \bar{x} \; \pm \; d\]

donde \(d = (\text{valor crítico}) \times ee(\bar{x})\) es el error de muestreo. Lo único que cambia es cuál valor crítico y cuál error estándar corresponde:

Árbol de decisión para la media

Situación	Valor crítico	Error estándar
Población normal, \(\sigma\) conocida (cualquier \(n\))	\(z_{1-\alpha/2}\)	\(\sigma/\sqrt{n}\)
Población cualquiera, \(n > 30\), \(\sigma\) conocida	\(z_{1-\alpha/2}\)	\(\sigma/\sqrt{n}\)
Población cualquiera, \(n > 30\), \(\sigma\) desconocida	\(z_{1-\alpha/2}\)	\(s/\sqrt{n}\)
Población normal, \(n \le 30\), \(\sigma\) desconocida	\(t_{1-\alpha/2,\,n-1}\)	\(s/\sqrt{n}\)

Si se conoce \(N\) y el muestreo es sin reemplazo, multiplique el error estándar por \(\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}\).

Caso 1: población normal con \(\sigma\) conocida

\[\Large \bar{x} \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Ejemplo 3. Una muestra aleatoria de 50 envases tomada de una producción muy numerosa arrojó un contenido promedio de 51.5 ml. Por experiencia se sabe que \(\sigma = 5.2\) ml. Construya un intervalo del 95% para el contenido promedio.

Solución paso a paso. Datos: \(n = 50\), \(\bar x = 51.5\), \(\sigma = 5.2\), \(1-\alpha = 0.95\). No se conoce \(N\), no hay corrección.

1. Valor crítico: \(\alpha = 0.05 \;\Rightarrow\; 1-\alpha/2 = 0.975 \;\Rightarrow\; z_{0.975} = 1.96\)

2. Error estándar: \(ee(\bar{x}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{5.2}{\sqrt{50}} = \dfrac{5.2}{7.0711} = 0.7354\)

3. Error de muestreo: \(d = z_{0.975} \times ee(\bar x) = 1.96 \times 0.7354 = 1.4414\)

4. Intervalo: \(IC_{95\%} = 51.5 \pm 1.4414 = (50.06,\; 52.94)\)

Caso 1 en R

\[\bar{x} \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad\qquad d = z_{1-\alpha/2} \times ee(\bar{x})\]

xbar  <- 51.5      # media muestral
sigma <- 5.2       # desviación estándar POBLACIONAL (conocida)
n     <- 50        # tamaño de muestra
alpha <- 0.05      # 1 - nivel de confianza

z  <- qnorm(1 - alpha/2)     # valor crítico
ee <- sigma/sqrt(n)          # error estándar
d  <- z * ee                 # error de muestreo

round(c(z = z, ee = ee, d = d), 4)

     z     ee      d 
1.9600 0.7354 1.4413 

round(c(LIC = xbar - d, LSC = xbar + d), 2)

  LIC   LSC 
50.06 52.94 

Interpretación

Con un 95% de confianza, el contenido promedio de los envases de toda la producción se encuentra entre 50.06 ml y 52.94 ml.

Ejercicio en clase 1

Para resolver ahora

Una fábrica envasa bolsas de cemento cuyo peso, en kg, se distribuye normalmente. Por la calibración del equipo se sabe que la desviación estándar del proceso es de 0.6 kg. En una muestra aleatoria de 25 bolsas el peso promedio fue de 49.4 kg.

1. Identifique el parámetro, el estimador y la estimación puntual.
2. Indique cuál caso del árbol de decisión corresponde y justifique.
3. Obtenga el valor crítico y el error estándar.
4. Construya el intervalo de confianza del 95% e interprételo.
5. El empaque declara un contenido de 50 kg. ¿Es ese valor compatible con su intervalo? Comente.
6. Verifique sus cálculos en R.

Caso 2: \(\sigma\) desconocida y \(n > 30\)

Cuando \(n\) es grande, \(s\) estima bien a \(\sigma\) y el TLC sigue aplicando:

\[\Large \bar{x} \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\]

Ejemplo 4. En una muestra de 60 clientes de una tienda el gasto promedio fue de 15.2 mil colones con una desviación estándar muestral de 6.1 mil colones. La población de clientes es muy numerosa. Construya un intervalo del 95%.

¿Qué cambió respecto al Caso 1?

Solo el error estándar: en lugar de \(\sigma\) se usa \(s\). El valor crítico sigue siendo \(z\) porque \(n = 60 > 30\).

Caso 2: ejemplo a mano

Solución paso a paso. Datos: \(n = 60\), \(\bar x = 15.2\), \(s = 6.1\), \(1-\alpha = 0.95\). Población muy numerosa, no hay corrección.

1. Valor crítico: \(z_{0.975} = 1.96\), pues se usa \(z\) porque \(n = 60 > 30\)

2. Error estándar: \(ee(\bar{x}) = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{6.1}{\sqrt{60}} = \dfrac{6.1}{7.7460} = 0.7875\)

3. Error de muestreo: \(d = 1.96 \times 0.7875 = 1.5435\)

4. Intervalo: \(IC_{95\%} = 15.2 \pm 1.5435 = (13.66,\; 16.74)\)

Algunos textos usan \(t_{n-1}\) incluso con \(n>30\). La diferencia es mínima: \(t_{0.975,\,59} = 2.001\) frente a \(z = 1.96\).

Caso 2 en R

\[\bar{x} \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\]

xbar  <- 15.2      # media muestral
s     <- 6.1       # desviación estándar MUESTRAL
n     <- 60        # tamaño de muestra
alpha <- 0.05

z  <- qnorm(1 - alpha/2)
ee <- s/sqrt(n)
d  <- z * ee

round(c(z = z, ee = ee, d = d), 4)

     z     ee      d 
1.9600 0.7875 1.5435 

round(c(LIC = xbar - d, LSC = xbar + d), 2)

  LIC   LSC 
13.66 16.74 

# Comparación con el valor crítico t de 59 grados de libertad
round(c(z = qnorm(0.975), t_59 = qt(0.975, df = 59)), 4)

    z  t_59 
1.960 2.001 

Ejercicio en clase 2

Para resolver ahora

Una universidad con una gran cantidad de estudiantes desea estimar el tiempo promedio de estudio semanal. En una muestra aleatoria de 64 estudiantes el tiempo promedio fue de 11.5 horas con una desviación estándar muestral de 4.8 horas.

1. Identifique cuál caso corresponde y justifique por qué no se usa la distribución \(t\).
2. Calcule el error estándar de la media.
3. Construya el intervalo de confianza del 95% e interprételo.
4. Construya el intervalo del 90% y compare las dos amplitudes.
5. ¿Qué información haría falta para poder aplicar el factor de corrección?
6. Verifique sus cálculos en R.

Caso 3: población normal, \(\sigma\) desconocida y \(n \le 30\)

\[\Large \bar{x} \; \pm \; t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\]

¿Por qué la t de Student?

• Al sustituir \(\sigma\) por \(s\) se introduce variabilidad adicional, porque \(s\) también cambia de muestra a muestra.
• La distribución \(t\) es simétrica como la normal, pero más aplanada, con mayor probabilidad en las colas.
• Eso produce valores críticos mayores y por lo tanto intervalos más anchos, que es justamente la penalización por no conocer \(\sigma\).
• Al aumentar \(n\), la \(t\) se aproxima a la normal; con \(n = 30\) la aproximación ya es buena.

Caso 3: ejemplo a mano

Ejemplo 5. Una muestra aleatoria de 9 baterías de una producción normal arrojó una duración promedio de 5.2 horas con una desviación estándar muestral de 1.3 horas. Construya un intervalo del 95%.

Solución paso a paso. Datos: \(n = 9\), \(\bar x = 5.2\), \(s = 1.3\), \(1-\alpha = 0.95\). Población normal, \(\sigma\) desconocida y \(n \le 30\).

1. Grados de libertad: \(gl = n-1 = 8\)

2. Valor crítico: \(t_{0.975,\,8} = 2.306\)

3. Error estándar: \(ee(\bar{x}) = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{1.3}{\sqrt{9}} = \dfrac{1.3}{3} = 0.4333\)

4. Error de muestreo: \(d = 2.306 \times 0.4333 = 0.9993\)

5. Intervalo: \(IC_{95\%} = 5.2 \pm 0.9993 = (4.20,\; 6.20)\)

Caso 3 en R

\[\bar{x} \; \pm \; t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \qquad\qquad gl = n-1\]

promedio <- 5.2    # media muestral
s     <- 1.3       # desviación estándar muestral
n     <- 9         # tamaño de muestra
alpha <- 0.05

gl    <- n - 1                        # grados de libertad
tcrit <- qt(1 - alpha/2, df = gl)     # valor crítico
ee    <- s/sqrt(n)                    # error estándar
d     <- tcrit * ee                   # error de muestreo

round(c(gl = gl, tcrit = tcrit, ee = ee, d = d), 4)

    gl  tcrit     ee      d 
8.0000 2.3060 0.4333 0.9993 

round(c(LIC = promedio - d, LSC = promedio + d), 2)

LIC LSC 
4.2 6.2 

Si se hubiera usado \(z = 1.96\) el intervalo sería \((4.35,\; 6.05)\): más angosto, pero con menos cobertura real.

Ejercicio en clase 3

Para resolver ahora

En un hospital con una gran cantidad de pacientes se tomó una muestra aleatoria de 16 pacientes y se midió el nivel de hemoglobina, en g/dL, obteniéndose un promedio de 13.2 y una desviación estándar muestral de 1.6. Se sabe que el nivel de hemoglobina se distribuye normalmente.

1. Indique los grados de libertad y el valor crítico que corresponde.
2. Calcule el error estándar de la media.
3. Construya el intervalo de confianza del 95% e interprételo.
4. Obtenga el intervalo que resultaría usando \(z = 1.96\) y explique por qué no sería el correcto en este caso.
5. ¿Qué ocurriría con el valor crítico si la muestra fuera de 30 pacientes? ¿Y si fuera de 200?
6. Verifique sus cálculos en R.

Cuando Aplicar Factor de Corrección: Población finita con \(N\)

Ejemplo 6. En la Junta Electoral XX votaron 260 electores. Se deseaba estimar el tiempo promedio que tardaban en votar. Se seleccionó una muestra de 52 electores y se obtuvo un tiempo promedio de 125 segundos con una desviación estándar de 15 segundos. Construya un intervalo del 95%.

Solución paso a paso. Datos: \(N = 260\), \(n = 52\), \(\bar x = 125\), \(s = 15\). Como \(n = 52 > 30\) corresponde \(z\), y como se conoce \(N\) corresponde el factor de corrección.

1. Valor crítico: \(z_{0.975} = 1.96\)

2. Error estándar sin corregir: \(\dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{15}{\sqrt{52}} = 2.0801\)

3. Factor de corrección: \(\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}} = \sqrt{\dfrac{260-52}{260-1}} = \sqrt{\dfrac{208}{259}} = 0.8962\)

Cuando Aplicar Factor de Corrección: Población finita con \(N\)

4. Error estándar corregido: \(ee(\bar{x}) = 2.0801 \times 0.8962 = 1.8641\)

5. Error de muestreo: \(d = 1.96 \times 1.8641 = 3.6536\)

6. Intervalo: \(IC_{95\%} = 125 \pm 3.6536 = (121.35,\; 128.65)\)

Interpretación

Con un 95% de confianza, el tiempo promedio que tardaron en votar los 260 electores de esa junta se encuentra entre 121.35 y 128.65 segundos.

Cuando Aplicar Factor de Corrección: Población finita con \(N\)

\[\bar{x} \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]

N     <- 260       # tamaño de la población
n     <- 52        # tamaño de muestra
promedio  <- 125   # media muestral
s     <- 15        # desviación estándar muestral
alpha <- 0.05

z      <- qnorm(1 - alpha/2)
ee_sin <- s/sqrt(n)                  # sin corrección
fc     <- sqrt((N - n)/(N - 1))      # factor de corrección
ee_con <- ee_sin * fc                # con corrección

round(c(z = z, ee_sin = ee_sin, fc = fc, ee_con = ee_con), 4)

     z ee_sin     fc ee_con 
1.9600 2.0801 0.8962 1.8641 

rbind(Sin_correccion = promedio + c(-1, 1)*z*ee_sin,
      Con_correccion = promedio + c(-1, 1)*z*ee_con)

                   [,1]     [,2]
Sin_correccion 120.9230 129.0770
Con_correccion 121.3464 128.6536

Ignorar el factor de corrección produce un intervalo innecesariamente ancho: se desperdicia precisión ya pagada.

Ejercicio en clase 4

Para resolver ahora

Una cooperativa tiene 400 asociados. Se seleccionó sin reemplazo una muestra aleatoria de 45 asociados y se registró el monto de ahorro mensual, obteniéndose un promedio de 38 500 colones con una desviación estándar muestral de 9 200 colones.

1. Identifique el parámetro, el estimador y la estimación puntual.
2. Indique cuál de los casos del árbol de decisión corresponde y justifique si procede el factor de corrección.
3. Calcule el error estándar con y sin corrección.
4. Construya el intervalo de confianza del 95% e interprételo.
5. Construya el intervalo del 99% y compare su amplitud con el anterior.
6. ¿Qué ocurriría con la amplitud si la muestra fuera de 180 asociados? Calcúlelo.

Verificación de la cobertura en R

¿Realmente los intervalos del 95% contienen al parámetro el 95% de las veces? Comprobémoslo:

set.seed(1130)
mu <- 100
sigma <- 15
n <- 20

cubre <- replicate(10000, {
  x  <- rnorm(n, mu, sigma)
  ic <- mean(x) + c(-1,1)*qt(0.975, n-1)*sd(x)/sqrt(n)
  ic[1] <= mu & mu <= ic[2]
})
mean(cubre)                      # proporción de intervalos que cubren

[1] 0.9479

# ¿Qué pasa si usamos z en lugar de t con n pequeño?
set.seed(1130)
cubre_z <- replicate(10000, {
  x  <- rnorm(n, mu, sigma)
  ic <- mean(x) + c(-1,1)*qnorm(0.975)*sd(x)/sqrt(n)
  ic[1] <= mu & mu <= ic[2]
})
mean(cubre_z)                    # cobertura menor a la nominal

[1] 0.9323

Intervalo de confianza para la proporción

Intervalo para \(P\) con muestras grandes

Por el TLC, \(\hat{p} \dot\sim N\left(P, \frac{P(1-P)}{n}\right)\). Como \(P\) es desconocida, se estima el error estándar con \(\hat{p}\):

\[\hat{p} \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Y si se conoce \(N\) y el muestreo es sin reemplazo:

\[ \hat{p} \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]

Importante

Condiciones de validez: \(\;n\hat{p} \ge 10\;\) y \(\;n(1-\hat{p}) \ge 10\). Con proporciones muy cercanas a 0 o a 1 se requieren muestras muy grandes, y el intervalo puede incluso salirse del rango \([0,1]\).

Ejemplo 7: intervalo para la proporción

Un sociólogo desea estimar la proporción \(P\) de los 25 000 estudiantes de una universidad que están de acuerdo con la eutanasia con consentimiento del paciente. Toma una muestra aleatoria de 1000 estudiantes y encuentra que 198 están de acuerdo. Obtenga un intervalo del 95%.

Solución paso a paso. Datos: \(N = 25\,000\), \(n = 1\,000\), 198 éxitos.

1. Estimación puntual: \(\hat{p} = \dfrac{198}{1000} = 0.198\)

2. Condiciones de validez: \(n\hat p = 198 \ge 10\) y \(n(1-\hat p) = 802 \ge 10 \;\checkmark\)

3. Error estándar: \(\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\dfrac{0.198 \times 0.802}{1000}} = \sqrt{0.00015880} = 0.01260\)

Ejemplo 7: intervalo para la proporción

4. Factor de corrección: \(\sqrt{\dfrac{25000-1000}{25000-1}} = \sqrt{0.96004} = 0.97981\)

5. Error estándar corregido: \(ee(\hat p) = 0.01260 \times 0.97981 = 0.01235\)

6. Error de muestreo: \(d = 1.96 \times 0.01235 = 0.0242\)

7. Intervalo: \(IC_{95\%} = 0.198 \pm 0.0242 = (0.1738,\; 0.2222)\)

Interpretación

Con un 95% de confianza, entre el 17.4% y el 22.2% de los 25 000 estudiantes de la universidad está de acuerdo con la eutanasia con consentimiento del paciente.

Ejemplo 7 en R

\[\hat{p} \; \pm \; z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]

N     <- 25000     # tamaño de la población
n     <- 1000      # tamaño de muestra
x     <- 198       # número de éxitos
alpha <- 0.05

proporcion  <- x/n                       # estimación puntual
z      <- qnorm(1 - alpha/2)             # valor crítico
ee_sin <- sqrt(p_hat*(1 - p_hat)/n)      # error estándar
fc     <- sqrt((N - n)/(N - 1))          # factor de corrección
ee_con <- ee_sin * fc

round(c(p_hat = proporcion, np = n*proporcion, nq = n*(1 - p_hat),
        ee_sin = ee_sin, fc = fc, ee_con = ee_con), 4)

   p_hat       np       nq   ee_sin       fc   ee_con 
  0.1980 198.0000 583.3333   0.0156   0.9798   0.0153 

rbind(Sin_correccion = proporcion + c(-1, 1)*z*ee_sin,
      Con_correccion = proporcion + c(-1, 1)*z*ee_con)

                    [,1]      [,2]
Sin_correccion 0.1674437 0.2285563
Con_correccion 0.1680605 0.2279395

Ejercicio en clase 5

Para resolver ahora

En un colegio con 850 estudiantes se seleccionó sin reemplazo una muestra aleatoria de 120, de los cuales 78 declararon usar transporte público para llegar al centro educativo.

1. Calcule la estimación puntual de la proporción.
2. Verifique las condiciones de validez del intervalo.
3. Escriba el error estándar que corresponde y justifique si lleva factor de corrección.
4. Construya el intervalo del 95% e interprételo.
5. Estime el número total de estudiantes que usan transporte público y construya un intervalo para ese total, multiplicando los límites por \(N\).
6. Repita el inciso d al 90% y comente la diferencia.

Lista de ejercicios

Antes de empezar

En ninguno de los ejercicios se indica cuál intervalo corresponde. Parte del trabajo consiste en leer el enunciado y decidir:

1. ¿El parámetro es una media o una proporción?
2. Si es una media: ¿se conoce \(\sigma\)? ¿Es \(n > 30\)? ¿La población es normal?
3. ¿Se conoce \(N\)? De ser así, corresponde el factor de corrección.
4. Si es una proporción: ¿cuál categoría es el éxito? ¿Se cumplen las condiciones de validez?

Resuelva primero a mano y luego verifique en R.

Ejercicios 1 a 4

• 1
• 2
• 3
• 4

Un laboratorio de control de alimentos mide el contenido de sodio, en mg, de las porciones de un cereal que se produce en grandes cantidades. Por registros históricos del proceso se sabe que la desviación estándar es de 12 mg y que el contenido se distribuye normalmente. En una muestra aleatoria de 40 porciones el contenido promedio fue de 148 mg.

1. Indique el parámetro, el estimador y la estimación puntual.
2. Calcule el error estándar de la estimación.
3. Construya un intervalo de confianza del 95% e interprételo en términos del problema.
4. Construya el intervalo del 99% y compare las dos amplitudes. ¿Qué se gana y qué se pierde al exigir más confianza?
5. ¿De qué tamaño debería ser la muestra para que el error de muestreo del 95% se reduzca a la mitad? Justifique algebraicamente, no por tanteo.

Un colegio cuenta con 210 docentes. Se seleccionó sin reemplazo una muestra aleatoria de 18 docentes y se registró el número de horas semanales dedicadas a preparar lecciones, obteniéndose un promedio de 9.4 horas y una desviación estándar muestral de 2.6 horas. Estudios anteriores indican que esta variable se distribuye normalmente.

1. Calcule el error estándar de la media.
2. Construya un intervalo de confianza del 95% para el promedio de horas de todos los docentes del colegio.
3. Interprete el intervalo obtenido.
4. Suponga que la muestra hubiera sido de 60 docentes, con el mismo promedio y la misma desviación estándar. Construya de nuevo el intervalo y señale cuáles elementos del cálculo cambiaron y por qué.
5. ¿Por qué la amplitud del inciso d es menos de la mitad de la amplitud del inciso b, si la muestra solo se triplicó?

Una municipalidad con 3 500 patentes comerciales activas realizó una encuesta a una muestra aleatoria de 240 patentes, seleccionada sin reemplazo. El informe reporta que el 36% de las patentes encuestadas cuenta con permiso sanitario al día.

1. Identifique el parámetro de interés y la estimación puntual.
2. Verifique si se cumplen las condiciones de validez.
3. Construya un intervalo de confianza del 95% e interprételo.
4. Estime el número total de patentes de la municipalidad que tienen el permiso al día y construya un intervalo para ese total.
5. Un informe del año anterior afirmaba que la proporción era de 0.30. ¿Es ese valor compatible con su intervalo? Comente con cuidado.

Una clínica atiende a 2 000 pacientes con un tratamiento nuevo. En una muestra aleatoria de 150 pacientes, seleccionada sin reemplazo, 132 no presentaron ninguna reacción adversa. Interesa estimar la proporción de pacientes que sí presentan reacción adversa.

1. Defina cuál es el éxito en este caso y calcule la estimación puntual.
2. Verifique las condiciones de validez.
3. Construya un intervalo de confianza del 95% e interprételo.
4. Sin repetir todo el cálculo, obtenga el intervalo para la proporción de pacientes que no presentan reacción adversa y explique la relación entre ambos intervalos.
5. ¿Cuántos pacientes de la clínica se estima que presentarían reacción adversa? Dé la estimación puntual y un intervalo.

Ejercicios 5 a 8

• 5
• 6
• 7
• 8

Una línea de envasado muy numerosa produce bolsas de café cuyo peso, en gramos, se distribuye normalmente. El control de calidad del proceso tiene establecido que la desviación estándar es de 4.5 g. Se tomó una muestra aleatoria de 12 bolsas:

\[248,\; 252,\; 245,\; 259,\; 251,\; 243,\; 256,\; 250,\; 261,\; 247,\; 254,\; 242\]

1. Calcule la media y la desviación estándar muestral.
2. Construya un intervalo de confianza del 95% para el peso promedio del proceso.
3. Suponga ahora que la desviación estándar del proceso no se conociera. Construya de nuevo el intervalo del 95% con la información que da la muestra.
4. Compare las amplitudes de los incisos b y c. ¿A qué se debe la diferencia? Identifique los dos elementos del cálculo que cambiaron.
5. Verifique sus resultados en R.

Una cadena de supermercados, con una cantidad muy grande de clientes, desea estimar el gasto promedio por visita, en miles de colones. En una muestra aleatoria de 85 clientes se obtuvo un gasto promedio de 4.7 y una desviación estándar muestral de 1.9.

1. Calcule el error estándar de la media.
2. Construya los intervalos del 90%, 95% y 99%.
3. Anote las tres amplitudes en un cuadro y describa el patrón que observa.
4. La gerencia sostiene que el gasto promedio por visita supera los 4 500 colones. ¿Respaldan sus intervalos esa afirmación? Explique.
5. ¿Cuál de los tres intervalos usaría en un informe y por qué?

Una universidad con 1 400 funcionarios administrativos desea estimar el tiempo promedio, en minutos, que tardan en trasladarse al trabajo. Un estudio piloto sugiere que la desviación estándar es cercana a 12 minutos. Se desea que la estimación no se aparte del verdadero promedio en más de 2 minutos, con una confianza del 95%.

1. Determine el tamaño de muestra requerido.
2. La rectoría solicita ahora una precisión de 1 minuto, con la misma confianza. ¿Cuántos funcionarios se necesitan?
3. Con la precisión original de 2 minutos, ¿cuántos funcionarios se necesitarían al 99% de confianza?
4. Ordene los tres tamaños obtenidos y explique cuál de los dos cambios, mejorar la precisión o aumentar la confianza, resulta más costoso.
5. Si la universidad tuviera 50 000 funcionarios en lugar de 1 400, ¿qué ocurriría con el tamaño de muestra del inciso a? Calcúlelo y comente.

En un cantón hay 480 fincas cafetaleras. Se seleccionó sin reemplazo una muestra aleatoria de 60 fincas y se encontró que 21 de ellas utilizan riego por goteo.

1. Calcule la estimación puntual de la proporción de fincas con riego por goteo.
2. Verifique las condiciones de validez.
3. Construya un intervalo de confianza del 95% e interprételo.
4. Estime el número total de fincas del cantón con riego por goteo y dé un intervalo para ese total.
5. Para el próximo año se quiere repetir el estudio con un error máximo de 5 puntos porcentuales y una confianza del 95%. Usando la información de esta muestra, determine cuántas fincas deben seleccionarse.
6. Compare el tamaño obtenido en el inciso e con las 60 fincas de este estudio. ¿Qué error máximo tenía el estudio actual?

Ejercicios 9 a 12

• 9
• 10
• 11
• 12

Un sindicato con 12 000 afiliados desea estimar la proporción de afiliados que está a favor de una reforma a los estatutos. No se cuenta con información previa sobre esa proporción. Se desea un error máximo de 4 puntos porcentuales con una confianza del 95%.

1. Explique cuál valor de \(P\) debe usarse en el cálculo y por qué.
2. Determine el tamaño de muestra requerido.
3. Suponga que una encuesta anterior en otro sindicato arrojó una proporción cercana a 0.20 y que se decide utilizar ese valor. ¿Cuántos afiliados se necesitarían? Compare con el inciso b y comente el costo de no tener información previa.
4. Con el supuesto del inciso a, determine el tamaño de muestra si el error máximo admitido fuera de 2 puntos porcentuales.
5. ¿Qué relación observa entre el error máximo admitido y el tamaño de muestra?

Marque con equis la única opción correcta en cada caso.

1. Una muestra de 12 observaciones proviene de una población normal con varianza desconocida. El valor crítico que corresponde es:

• \(z_{1-\alpha/2}\)
• \(t_{1-\alpha/2,\;12}\)
• \(t_{1-\alpha/2,\;11}\)
• \(\chi^2_{11}\)

2. Al aumentar el nivel de confianza, manteniendo \(n\) fijo, la amplitud del intervalo:

• disminuye
• aumenta
• no cambia
• puede aumentar o disminuir según la muestra

3. Para reducir a la mitad el error de muestreo \(d\), manteniendo la confianza, se debe:

• duplicar \(n\)
• cuadruplicar \(n\)
• reducir \(n\) a la mitad
• cambiar el valor crítico

4. El factor de corrección por población finita:

• aumenta el error estándar
• lo disminuye
• no lo altera
• solo se aplica cuando \(\sigma\) es conocida

5. Decir que un intervalo es del 95% de confianza significa que:

• hay un 95% de probabilidad de que \(\mu\) esté entre esos dos números
• el 95% de las observaciones de la muestra cae dentro del intervalo
• si se repitiera el muestreo muchas veces, el 95% de los intervalos construidos contendría a \(\mu\)
• el 95% de las muestras posibles tiene la misma media

6. En una muestra de \(n = 80\) personas, 4 declararon el atributo de interés. Sobre el intervalo para \(P\):

• se puede construir sin ningún problema
• no se cumplen las condiciones de validez porque \(n\hat p < 10\)
• hay que usar la distribución \(t\)
• hay que omitir el factor de corrección

7. Si se duplica \(n\) y todo lo demás permanece igual, el error estándar de \(\bar x\):

• se reduce a la mitad
• se divide entre \(\sqrt{2}\)
• se duplica
• no cambia

8. Se tiene \(N = 900\) y \(n = 300\), con muestreo sin reemplazo. El estimador de la media:

• no se puede calcular
• se calcula igual, pero su error estándar se corrige por finitud
• requiere la distribución \(t\) en todos los casos
• requiere que la población sea normal

9. Para pasar de un intervalo para \(P\) a un intervalo para el total poblacional, los límites se:

• dividen entre \(N\)
• multiplican por \(N\)
• multiplican por \(n\)
• dejan igual

10. Un intervalo del 95% para \(P\) resultó \((-0.02,\; 0.14)\). Esto indica que:

• necesariamente hubo un error aritmético
• la aproximación normal no es adecuada para esa \(\hat p\) y ese \(n\)
• la proporción poblacional es negativa
• faltó aplicar el factor de corrección

Indique si cada afirmación es falsa o verdadera y justifique su respuesta en una línea.

1. El intervalo de confianza es un intervalo para el estimador, no para el parámetro.
2. Con \(\sigma\) conocida y población normal se usa \(z\) para cualquier tamaño de muestra.
3. Si la fracción de muestreo es pequeña, el factor de corrección es cercano a 1.
4. La amplitud del intervalo para \(\mu\) no depende del valor de \(\bar x\) que se haya obtenido.
5. La amplitud del intervalo para \(P\) no depende del valor de \(\hat p\) que se haya obtenido.
6. Al usar \(s\) en lugar de \(\sigma\) el intervalo tiende a ser más ancho.
7. Un intervalo del 99% siempre contiene al parámetro.
8. Si el intervalo del 95% para \(\mu\) es \((10,\; 14)\), entonces la media muestral fue 12.
9. El error estándar y el error de muestreo \(d\) son lo mismo.
10. Cuando \(n > 30\) se puede usar \(z\) aun si \(\sigma\) es desconocida.
11. Un intervalo más angosto siempre es mejor que uno más ancho.
12. Si se conoce \(N\) se aplica el factor de corrección; si la población es muy numerosa o \(N\) es desconocido, se omite.

Responda de forma breve.

1. Explique con sus palabras la diferencia entre el error estándar y el error de muestreo \(d\).
2. ¿Por qué la distribución \(t\) produce intervalos más anchos que la normal estándar?
3. ¿Qué papel juega el Teorema del Límite Central en la construcción del intervalo para una proporción?
4. Explique por qué el factor de corrección siempre es menor que 1 y qué significa eso para la precisión de la estimación.
5. Complete: si la población es normal y \(\sigma\) es conocida, el valor crítico es _____ y el error estándar es _____.
6. Un estudiante afirma: “con un 95% de confianza, el 95% de los hogares consume entre 200 y 237 kWh”. Identifique el error en esa interpretación y escriba la versión correcta.
7. ¿Por qué al determinar el tamaño de muestra para una proporción, cuando no se conoce \(P\), se utiliza \(P = 0.5\)?
8. Dos estudios estiman la misma proporción, uno con \(n = 400\) y otro con \(n = 1\,600\). ¿Cuántas veces más preciso es el segundo? Justifique numéricamente.
9. Investigue qué es el intervalo de Wilson para una proporción y señale en qué situaciones se prefiere sobre el que se estudió en clase.