Muestreo Probabilístico - Parte 3

[XS-1130 Principios de Inferencia]

Lo que sigue

Del muestreo simple al azar ya conocemos la selección, los estimadores y el cálculo del tamaño de muestra. Ahora veremos cuatro diseños más:

Muestreo sistemático: cambia solo la forma de seleccionar.
Muestreo estratificado: divide la población y muestrea dentro de cada grupo.
Muestreo por conglomerados: divide la población y selecciona grupos completos.
Muestreo en varias etapas: combina los anteriores en sucesivas selecciones.

Importante

En todos ellos la estimación puntual sigue siendo un promedio (ponderado o no). Lo que cambia es cómo se selecciona y cómo se calcula el error estándar.

En esta presentación indicaremos las fórmulas del promedio y de la varianza de cada diseño sin deducirlas: lo importante es saber cuál corresponde a cada caso.

Muestreo Sistemático

Definición y procedimiento

“Se selecciona un punto aleatorio de inicio y posteriormente se elige cada \(k\)-ésimo miembro de la población.”

Procedimiento

Enumerar las unidades del marco de \(1\) a \(N\).
Calcular el salto o espaciamiento: \(\;k = N/n\).
Seleccionar un arranque aleatorio \(r\) entre \(1\) y \(k\).
Seleccionar los elementos \(r,\; r+k,\; r+2k,\;\dots\) hasta completar \(n\) elementos.

Nota

Las fórmulas del tamaño de muestra son las mismas que las del MSA. Lo único que cambia es la forma en que seleccionamos a las unidades.

Si \(k\) es entero, la selección es sencilla. Si \(k\) tiene decimales el procedimiento se vuelve algo más tedioso, pero sigue siendo directo.

Sistemático: estimadores

Solo para referencia

Como todas las unidades tienen la misma probabilidad de salir (\(\pi_k = n/N\)), se utiliza el mismo estimador del MSA:

\[\bar{y}_{sis} = \frac{1}{n}\sum_{i \in s} y_i\]

Y la varianza se aproxima con la del MSA:

\[\widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_{sis}) \approx \frac{s^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)\]

Importante

Decimos “se aproxima” porque solo existen \(k\) muestras posibles y las unidades seleccionadas no son independientes. La aproximación funciona bien cuando la lista está en orden aleatorio respecto a la variable de interés.

Ejemplo 1: salto entero

Ejemplo. Una empresa tiene 1 400 clientes y, tras los cálculos correspondientes, el tamaño de muestra resultó ser de 50 clientes.

Paso 1. Calcular el salto:

\[k = \frac{N}{n} = \frac{1400}{50} = 28\]

Paso 2. Escoger un número aleatorio entre 1 y 28. Suponga que salió el 12 (el arranque).

Paso 3. Sumar el salto sucesivamente:

Elemento	1 (Arranque)	2	3	4	\(\cdots\)	49	50
Unidad	12	40	68	96	\(\cdots\)	1356	1384

\(\small 40 = 12 + 28 \qquad 68 = 40 + 28 \qquad 96 = 68 + 28 \qquad \dots \qquad 1384 = 1356 + 28\)

Ejemplo 1 en R

N <- 1400
n <- 50
k <- N/n                              # salto
k

[1] 28

# Reproducimos el ejemplo con el arranque 12
r <- 12 #arranque

muestra <- seq(from = r, by = k, length.out = n)
head(muestra, 6)

[1]  12  40  68  96 124 152

# En la práctica el arranque se sortea
set.seed(2026)

r <- sample(1:k, 1)
r  #arranque

[1] 25

seq(from = r, by = k, length.out = n)

 [1]   25   53   81  109  137  165  193  221  249  277  305  333  361  389  417
[16]  445  473  501  529  557  585  613  641  669  697  725  753  781  809  837
[31]  865  893  921  949  977 1005 1033 1061 1089 1117 1145 1173 1201 1229 1257
[46] 1285 1313 1341 1369 1397

Ejemplo 2: salto fraccionario

Ejemplo. Misma población de 1 400 clientes, pero ahora el tamaño de muestra resultó ser de 32 clientes.

\[k = \frac{1400}{32} = 43.75\]

Procedimiento con decimales

Multiplicar el salto por 100: \(43.75 \times 100 = 4375\). (No siempre es 100, se multiplica por una expansión que elimine los decimales).
Sortear un arranque entre 100 y 4375. Suponga que salió 3 266. (Entre la ampliación utilizada y el valor resultante de 1.)
Ir sumando 4 375 sucesivamente.
Dividir cada resultado entre 100.
Truncar (no redondear) para obtener la unidad seleccionada.

Ejemplo 2: salto fraccionario

\(n\)	Iteración	Resultado	\(/100\)	Truncado
1	3266	3266	32.66	32
2	3266 + 4375	7641	76.41	76
3	7641 + 4375	12016	120.16	120
4	12016 + 4375	16391	163.91	163
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
32	134516 + 4375	138891	1388.91	1388

Ejemplo 2 en R

N <- 1400; 
n <- 32
k100 <- (N/n) * 100                   # 4375
r <- 3266                             # arranque del ejemplo
#en la práctica el arranque se escoge de manera aleatoria

lista    <- seq(from = r, by = k100, length.out = n)
unidades <- trunc(lista/100)          # dividir y truncar

data.frame(iteracion = 1:n, resultado = lista,
           entre_100 = lista/100, truncado = unidades)[1:10,] #primeros 10 elementos

   iteracion resultado entre_100 truncado
1          1      3266     32.66       32
2          2      7641     76.41       76
3          3     12016    120.16      120
4          4     16391    163.91      163
5          5     20766    207.66      207
6          6     25141    251.41      251
7          7     29516    295.16      295
8          8     33891    338.91      338
9          9     38266    382.66      382
10        10     42641    426.41      426

Nota

El arranque se sortea entre 100 y 4 375 porque al dividir entre 100 debe caer dentro del intervalo \([1, k]\). Un valor menor a 100 daría la unidad 0, que no existe en el marco.

Sistemático: cuidado con el orden del marco

Importante

El orden de la lista deja de ser un detalle administrativo y pasa a ser parte del diseño.

El caso clásico: un padrón ordenado por vivienda donde aparecen primero el esposo y luego la esposa. Si el salto \(k\) es par, la muestra quedará compuesta solo por hombres o solo por mujeres.

Tres escenarios

Orden aleatorio respecto a la variable de interés: equivalente al MSA.
Orden relacionado con la variable (clientes por monto de compra): la muestra recorre todo el rango y resulta más precisa que el MSA.
Orden con un patrón periódico que coincide con \(k\): produce sesgo de selección.

Recomendación: Siempre es una buena práctica revisar el orden del marco antes de aplicar el diseño y, ante la duda, desordénelo aleatoriamente.

Sistemático: ventajas y desventajas

Ventajas

Puede usarse cuando no se tiene una lista de los elementos: por ejemplo, escoger el tercero de cada cuatro clientes que llegan a un café.
Produce una muestra proporcional a la población y con cobertura uniforme de toda la lista.
Selección más rápida y sencilla que el MSA: basta un número aleatorio.

Desventajas

Las unidades seleccionadas no son independientes: con solo conocer el arranque y el espaciamiento se conoce toda la lista.
Puede producir sesgos de selección si la población está ordenada bajo algún patrón.
No existe fórmula insesgada para la varianza; se aproxima con la del MSA.

Muestreo Estratificado

Definición

Cuando una población se divide en grupos a partir de ciertas características, se aplica el muestreo aleatorio estratificado con el fin de garantizar que cada grupo se encuentre representado en la muestra. A los grupos también se les denomina estratos. \(\small \text{(Lind y Marchal, 2012, p. 269)}\)

Procedimiento

Dividir la población en estratos mutuamente excluyentes y homogéneos por dentro.
Decidir cuántas unidades corresponden a cada estrato (la afijación).
Seleccionar una muestra al azar dentro de cada estrato, de forma independiente.
Ponderar los resultados de cada estrato y combinarlos.

Con \(N_h\) el tamaño del estrato \(h\), el peso del estrato es \(W_h = N_h/N\), y se cumple \(\sum_h W_h = 1\).

Estratificado: estimadores

Solo para referencia

La media estratificada es un promedio ponderado de los promedios de cada estrato:

\[\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{H} W_h\,\bar{y}_h = \frac{N_1\bar{y}_1 + N_2\bar{y}_2 + \dots + N_H\bar{y}_H}{N}\]

Y su varianza suma lo que aporta cada estrato:

\[\widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{H} W_h^2\;\frac{s_h^2}{n_h}\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\]

Importante

Ponderar no es opcional. Si se calcula la media simple de todos los datos sin usar los \(W_h\), el estimador queda sesgado, salvo que la afijación haya sido exactamente proporcional.

Los dos tipos de afijación

Afijación proporcional

La muestra corresponde proporcionalmente al tamaño del estrato en la población:

\[n_h = n\,\frac{N_h}{N} = n\,W_h\]

Solo requiere conocer los tamaños \(N_h\).

Afijación óptima (de Neyman)

Además del tamaño, considera la variabilidad dentro de cada estrato:

\[n_h = n\,\frac{N_h\,\sigma_h}{\sum_{l} N_l\,\sigma_l}\]

Requiere conocer o estimar los \(\sigma_h\).

Nota

Si todos los estratos tuvieran la misma variabilidad, ambas afijaciones darían exactamente el mismo resultado.

Afijación proporcional: ejemplo

Ejemplo. Una empresa tiene 370 empleados repartidos en siete departamentos. Se desea seleccionar una muestra de 50 empleados.

Departamento	\(N_h\)	\(W_h\)	\(n_h = 50\,W_h\)
Gerencia	65	17.57% = (65/370)	9 = (17.57%*50)
Recursos Humanos	49	13.24%	7
Cuentas por pagar	59	15.95%	8
Cuentas por cobrar	60	16.22%	8
Auditoría	53	14.32%	7
Producción	22	5.95%	3
Publicidad	62	16.76%	8
TOTAL	370	100%	50

\(\small \text{Por ejemplo: } 50 \times 17.57\% = 8.78 \approx 9 \text{ empleados de Gerencia.}\)

Afijación proporcional: el redondeo

Importante

Para que la muestra global sea exacta, conviene usar el redondeo al más próximo. Lo habitual en otros contextos es redondear hacia arriba, pero entonces la suma de los \(n_h\) supera a \(n\).

Si tras redondear la suma no coincide con \(n\), se ajusta una unidad en el estrato más grande.

depto <- c("Gerencia","Recursos Humanos","Cuentas por pagar",
           "Cuentas por cobrar","Auditoría","Producción","Publicidad")
Nh <- c(65, 49, 59, 60, 53, 22, 62)

N <- sum(Nh); 
n <- 50
Wh <- Nh/N
nh <- round(n*Wh)                      # redondeo al más próximo

data.frame(depto, Nh, Wh = round(100*Wh, 2), nh)

               depto Nh    Wh nh
1           Gerencia 65 17.57  9
2   Recursos Humanos 49 13.24  7
3  Cuentas por pagar 59 15.95  8
4 Cuentas por cobrar 60 16.22  8
5          Auditoría 53 14.32  7
6         Producción 22  5.95  3
7         Publicidad 62 16.76  8

Afijación proporcional: el diseño es equiprobable

round(nh/Nh, 2)        # probabilidad de selección dentro de cada estrato

[1] 0.14 0.14 0.14 0.13 0.13 0.14 0.13

round(n/N,2)           # la misma para toda la población

[1] 0.14

Nota

Con afijación proporcional todas las unidades tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas, igual que en el MSA. Por eso los pesos son constantes y el análisis posterior se simplifica.

Las pequeñas diferencias que se observan se deben únicamente al redondeo de los \(n_h\).

Afijación óptima: ejemplo

Ejemplo. Una universidad está conformada por tres estratos: profesores, estudiantes y funcionarios administrativos, con \(N_1 = 2\,000\), \(N_2 = 20\,000\) y \(N_3 = 3\,000\). Se necesita asignar una muestra de \(n = 512\). La variabilidad de la variable de interés es 10, 19 y 25 respectivamente.

Estrato	\(h\)	\(N_h\)	\(\sigma_h\)	\(N_h \sigma_h\)	%	\(n_h\)
Profesores	1	2 000	10	20 000	4%	22
Estudiantes	2	20 000	19	380 000	80%	410
Funcionarios	3	3 000	25	75 000	16%	81
Total		25 000		475 000	100%	512

\(\small 512 \times \dfrac{20\,000}{475\,000} = 512 \times 4.21\% = 21.6 \approx 22 \text{ profesores.}\)

Afijación óptima en R

estrato <- c("Profesores", "Estudiantes", "Funcionarios")
Nh <- c(2000, 20000, 3000)
sh <- c(10, 19, 25)
n <- 512

producto <- Nh*sh
nh_opt <- round(n * producto/sum(producto))

data.frame(estrato, Nh, sh, Nh_sh = producto,
           pct = round(100*producto/sum(producto), 2), nh_opt)

       estrato    Nh sh  Nh_sh   pct nh_opt
1   Profesores  2000 10  20000  4.21     22
2  Estudiantes 20000 19 380000 80.00    410
3 Funcionarios  3000 25  75000 15.79     81

sum(nh_opt)

[1] 513

Importante

La suma da 513 y no 512: el redondeo agregó una unidad. En la práctica se resta esa unidad al estrato más grande (Estudiantes quedaría en 409).

Proporcional vs óptima: ¿qué cambia?

nh_prop <- round(n * Nh/sum(Nh))        # afijación proporcional

data.frame(estrato, Nh, sh, proporcional = nh_prop, óptima = nh_opt,
           diferencia = nh_opt - nh_prop)

       estrato    Nh sh proporcional óptima diferencia
1   Profesores  2000 10           41     22        -19
2  Estudiantes 20000 19          410    410          0
3 Funcionarios  3000 25           61     81         20

Nota

Profesores pierde 19 unidades y Funcionarios gana 20. La razón es la variabilidad: con \(\sigma = 10\) los profesores son muy homogéneos y pocas unidades bastan para estimarlos bien; con \(\sigma = 25\) los funcionarios son el grupo más disperso y necesitan más muestra.

Estudiantes no cambia porque su peso por tamaño (80%) coincide con su peso por tamaño y variabilidad.

Estratificado: ventajas y desventajas

Ventajas

Tiende a asegurar que la muestra represente adecuadamente a la población en función de las variables seleccionadas.
Se obtienen estimaciones más precisas que con el MSA.
Permite obtener estimaciones por estrato, no solo globales.
Consigue una muestra lo más semejante posible a la población en cuanto a los estratos de interés.

Desventajas

Se debe conocer la distribución en la población de las variables utilizadas para estratificar.
La afijación óptima exige además conocer o estimar los \(\sigma_h\).
Es más complejo y costoso de implementar que el MSA.
Unidades mal clasificadas o presentes en dos estratos rompen el diseño.

¿Para qué se usa el estratificado?

Usos típicos

Garantizar subgrupos pequeños: si el 0.2% de la población son doctorados, el MSA puede dejarlos fuera; la estratificación los asegura.
Dar resultados por dominio: cuando se requieren estimaciones separadas por provincia, por sede o por tipo de empresa.
Usar distintos métodos de recolección: teléfono para unos estratos, visita presencial para otros.
Ganar precisión cuando la variable de interés difiere mucho entre grupos: ingreso por zona, producción por tamaño de finca.

Muestreo por Conglomerados

Definición

En lugar de seleccionar elementos, se seleccionan grupos completos de elementos llamados conglomerados, definidos casi siempre por límites naturales o geográficos.

Procedimiento

Dividir la población en \(M\) conglomerados.
Seleccionar al azar \(m\) conglomerados.
Observar todos los elementos de los conglomerados seleccionados.

Importante

La idea clave: lo ideal es que cada conglomerado sea una representación, a pequeña escala, de la población. Si todos los conglomerados se parecen entre sí, basta tomar unos pocos para obtener una buena estimación.

Es exactamente lo contrario de los estratos.

Conglomerados: estimadores

Solo para referencia

Con conglomerados de tamaño aproximadamente igual, siendo \(\bar{y}_i\) la media del conglomerado \(i\):

\[\bar{y}_{cong} = \frac{1}{m}\sum_{i \in s} \bar{y}_i\]

\[\widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_{cong}) = \frac{s_b^2}{m}\left(1-\frac{m}{M}\right)\]

donde \(s_b^2\) es la varianza entre las medias de los conglomerados seleccionados.

Importante

La varianza depende de \(m\), el número de conglomerados, no del número total de elementos observados. Por eso se recomienda seleccionar 20 conglomerados o más.

Estratos vs Conglomerados

La distinción más importante

	Estratificado	Conglomerados
Se muestrea	dentro de cada grupo	entre los grupos
Grupos en la muestra	todos	algunos
Composición ideal	homogéneos por dentro	heterogéneos por dentro
Cada grupo es	una población pequeña	una “miniatura” de la población
Efecto en la precisión	la aumenta	la reduce
Efecto en el costo	lo mantiene o aumenta	lo reduce mucho

\(\small \text{Se estratifica por razones de PRECISIÓN; se conglomera por razones de COSTO.}\)

Conglomerados: ejemplo a mano

Ejemplo. Un distrito tiene \(M = 6\) barrios con 5 viviendas cada uno. Se registra el número de personas por vivienda:

Barrio	Viviendas	Total	\(\bar{y}_i\)
1	2, 3, 2, 3, 2	12	2.4
2	5, 6, 5, 4, 5	25	5.0
3	3, 2, 3, 4, 3	15	3.0
4	7, 8, 7, 6, 7	35	7.0
5	4, 5, 4, 3, 4	20	4.0
6	6, 5, 6, 7, 6	30	6.0

\(N = 30\) viviendas y \(\bar{Y} = 137/30 = 4.57\) personas.

Si se seleccionan los barrios 2 y 5: \(\;\bar{y}_{cong} = \frac{5.0 + 4.0}{2} = 4.5\;\)

Conglomerados: ventajas y desventajas

Ventajas

Muy eficiente cuando la población es grande y dispersa.
No requiere un marco de todas las unidades: basta el listado de conglomerados, y solo se listan los seleccionados.
El estudio de unidades que están juntas es logísticamente mucho más fácil y barato.
Los conglomerados suelen existir de forma natural: viviendas, grupos de clase, bloques, aviones.

Desventajas

Es menos preciso que el muestreo simple al azar suponiendo un mismo tamaño de muestra.
El cálculo del error estándar es más complejo.
Conglomerados de tamaño desigual complican los estimadores.
Se necesitan muchos conglomerados (20 o más) para que la estimación sea estable.

Muestreo en Varias Etapas

Definición

En la práctica casi nunca se observan todos los elementos del conglomerado: se toma una submuestra dentro de él. Eso da lugar al muestreo bietápico y, en general, polietápico.

Cómo funciona

Etapa 1: se seleccionan las unidades primarias de muestreo (UPM), por ejemplo distritos o segmentos censales.
Etapa 2: dentro de cada UPM se seleccionan unidades secundarias, por ejemplo viviendas.
Etapa 3: dentro de cada vivienda puede seleccionarse una persona.

Nota

Cada etapa puede usar un diseño distinto: MSA en una, sistemático en otra, estratificación por encima de todo. A esa combinación se le llama muestreo complejo, y es el diseño real de prácticamente todas las encuestas nacionales.

Varias etapas: probabilidad de inclusión

Solo para referencia

La probabilidad de que una unidad final entre en la muestra es el producto de las probabilidades de cada etapa:

\[\pi_k = \pi^{(1)} \times \pi^{(2)} \times \pi^{(3)} \times \cdots\]

y el peso de muestreo es su inverso, \(w_k = 1/\pi_k\).

Importante

Cuando ese producto da el mismo valor para todas las unidades, el diseño se llama autoponderado: todos los pesos son iguales y el análisis se simplifica mucho. Los institutos de estadística diseñan sus encuestas buscando precisamente esa propiedad.

Varias etapas: ejemplo

Ejemplo. Una encuesta nacional define el estrato rural disperso y aplica el siguiente diseño:

Diseño

Etapa 1: se seleccionan al azar 7 distritos dentro del estrato (según la afijación proporcional).
Etapa 2: se seleccionan 4 UPM con muestreo simple al azar en cada distrito.
Etapa 3: en cada UPM se seleccionan sistemáticamente 14 viviendas.

¿Cuántas viviendas se seleccionan en este estrato?

\[7 \times 4 \times 14 = 392 \text{ viviendas}\]

¿Cómo se llama este tipo de muestreo? Polietápico (de tres o más etapas).

Varias etapas: ejemplo

Muestreo por Etapas

Si se tienen cuatro estratos (Urbano Central, Urbano Costero, Rural Central, Rural Costero ) y se seleccionan 28, 15, 11 y 7 distritos respectivamente mediante afijación proporcional, y luego se aplica el mismo esquema. ¿Cuántas viviendas se tendrían que seleccionarían?

\[(28 + 15 + 11 + 7) \times 4 \times 14 = 61 \times 56 = 3\,416 \text{ viviendas}\]

Varias etapas: ventajas y desventajas

Ventajas

No requiere un marco completo desde el inicio: se construye por etapas, solo donde hace falta.
Reduce mucho el costo de campo al concentrar geográficamente el trabajo.
Permite combinar diseños: estratificar arriba, conglomerar en el medio, sistematizar abajo.
Puede diseñarse para que resulte autoponderado.

Desventajas

Se requiere un marco muestral en cada etapa.
El error estándar es mayor que con MSA y su cálculo es considerablemente más complejo.
Exige mayor planificación y control del trabajo de campo.
El análisis debe incorporar el diseño: ignorarlo subestima los errores estándar.

Resumen de los estimadores

Diseño	Media muestral	Varianza estimada
Simple al azar	\(\bar{y}_s = \frac{1}{n}\sum y_i\)	\(\frac{s^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)\)
Sistemático	\(\bar{y}_{sis} = \frac{1}{n}\sum y_i\)	Se aproxima con la del MSA
Estratificado	\(\bar{y}_{st} = \sum_h W_h \bar{y}_h\)	\(\sum_h W_h^2 \frac{s_h^2}{n_h}\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\)
Conglomerados	\(\bar{y}_{cong} = \frac{1}{m}\sum_i \bar{y}_i\)	\(\frac{s_b^2}{m}\left(1-\frac{m}{M}\right)\)
Varias etapas	Promedio ponderado por \(w_k = 1/\pi_k\)	Combina las etapas

Importante

La estimación puntual es siempre un promedio. Lo que cambia por completo es la fórmula del error estándar.

Aplicar la fórmula del MSA a una muestra por conglomerados subestima el error estándar: se concluye con más seguridad de la que los datos permiten.

¿Cómo elegir el diseño?

Preguntas guía

¿Existe un marco completo de las unidades? Si no, piense en conglomerados o en varias etapas.
¿Necesita resultados por subgrupo? Entonces estratifique.
¿Las unidades están dispersas geográficamente? El costo de campo empuja hacia conglomerados.
¿La lista tiene algún orden útil o peligroso? Eso decide si el sistemático ayuda o perjudica.
¿Conoce la variabilidad dentro de cada grupo? Solo entonces puede usar afijación óptima.

\(\small \text{En la práctica casi ninguna encuesta usa un solo diseño: se combinan según el marco disponible y el presupuesto.}\)

Ejercicios

Sistemático con salto entero. Una empresa de servicios tiene 2 400 clientes y desea una muestra de 60.

Calcule el salto \(k\).
Si el arranque sorteado fue 17, indique los primeros cinco clientes seleccionados y el último.
¿Cuántas muestras distintas admite este diseño? Compárelo con el número de muestras posibles del MSA.
Indique dos clientes que nunca podrán aparecer juntos en la muestra y explique por qué.
Seleccione la muestra en R usando set.seed(2026) para sortear el arranque.
Si la lista está ordenada por monto de compra anual, ¿el orden ayuda o perjudica a este diseño? Justifique.

Sistemático con salto fraccionario. Un archivo contiene 1 850 expedientes y se desea una muestra de 40.

Calcule \(k\) y verifique que no es entero.
Multiplique \(k\) por 100 e indique entre cuáles valores debe sortearse el arranque.
Suponga que el arranque fue 1 310. Construya la tabla de las primeras cuatro iteraciones con las columnas: resultado, división entre 100 y truncado.
Determine el último expediente seleccionado y verifique que no supera 1 850.
Programe el procedimiento en R y compruebe que se obtienen 40 unidades distintas.
Explique por qué el arranque no puede ser menor que 100.

Afijación proporcional. Se quiere hacer un estudio de las tres universidades públicas con más estudiantes del país (UCR, UNA y TEC) para conocer la percepción sobre las decisiones que ha tomado CONARE en el último año. Se desea obtener estimaciones por cada universidad y se requiere una muestra de 300 estudiantes. Se sabe que en el TEC se encuentra una quinta parte de la población y en la UNA una tercera parte.

¿Qué fracción de la población corresponde a la UCR?
¿Cuánta muestra le corresponde a cada universidad según la afijación proporcional?
Si la población aproximada es de 75 000 estudiantes entre las tres, ¿cuál es la población aproximada de cada una?
Verifique que el diseño resulta equiprobable calculando \(n_h/N_h\) en cada universidad.
Programe el cálculo en R.
¿Por qué en este estudio no sería adecuado un muestreo simple al azar?

Afijación proporcional y óptima. En un residencial construido en cuatro etapas, que actualmente consta de 10 000 habitantes, se quiere analizar la edad de los habitantes de cada etapa. La administración realizó una encuesta a una muestra estratificada de 500 personas. Se sabe que la etapa I tiene 1 000 habitantes, la etapa III tiene 2 000 y los habitantes de la etapa IV representan el 40% del total.

Determine la población de la etapa II.
Calcule \(W_h\) y el tamaño de muestra de cada estrato con afijación proporcional.
Verifique que \(\sum n_h = 500\).
Suponga ahora que las desviaciones estándar de la edad en cada etapa son 12, 18, 9 y 15 años. Calcule la afijación óptima.
Compare ambas afijaciones: ¿cuál estrato gana unidades y cuál las pierde? Explique a qué se debe.
Si las cuatro etapas tuvieran la misma desviación estándar, ¿qué ocurriría con la afijación óptima?

Conglomerados. Un distrito tiene \(M = 8\) condominios con 6 viviendas cada uno. El número de personas por vivienda es:

Condominio	Viviendas
1	2, 3, 2, 3, 2, 4
2	5, 6, 5, 4, 5, 5
3	3, 2, 3, 4, 3, 3
4	7, 8, 7, 6, 7, 7
5	4, 5, 4, 3, 4, 4
6	6, 5, 6, 7, 6, 6
7	2, 2, 3, 2, 3, 2
8	8, 7, 8, 9, 8, 8

Calcule \(N\), el total poblacional, \(\bar{Y}\) y la media de cada condominio.
Se seleccionan \(m = 2\) condominios al azar. Si salen el 3 y el 6, estime la media.
Enumere en R todas las muestras posibles de \(m = 2\) y verifique que el estimador es insesgado.
¿Son estos conglomerados adecuados? Observe qué tan parecidas son las viviendas dentro de cada condominio y justifique.
Proponga una forma de reagrupar las 48 viviendas en 8 conglomerados que resulte más eficiente, y explique su criterio.

Muestreo en varias etapas. Una encuesta nacional aplica en el estrato rural disperso el siguiente diseño: en la etapa 1 se seleccionan 7 distritos; en la etapa 2, 4 UPM por distrito mediante MSA; y en la etapa 3, 14 viviendas por UPM mediante muestreo sistemático.

¿Cuántas viviendas se seleccionan en este estrato?
¿Cómo se denomina este tipo de muestreo?
Si en los otros tres estratos se seleccionan 28, 15 y 11 distritos con el mismo esquema, ¿cuántas viviendas tiene la muestra total?
Si el estrato rural disperso tiene 40 distritos, cada distrito 12 UPM y cada UPM 70 viviendas, calcule la probabilidad de inclusión de una vivienda y su peso de muestreo.
Verifique si el diseño es autoponderado comparando \(\pi_k\) con \(n/N\).
Indique cuáles marcos muestrales hicieron falta y cuáles no fue necesario construir.

Conceptos.

Parte A. Falso o verdadero. Indique si cada afirmación es falsa o verdadera y justifique en una o dos líneas.

En el muestreo sistemático el arranque se sortea entre 1 y \(N\).
El muestreo sistemático siempre requiere una lista completa de la población.
Con afijación proporcional el muestreo estratificado resulta equiprobable.
La afijación óptima siempre asigna más unidades al estrato más grande.
Si todos los estratos tuvieran la misma desviación estándar, la afijación óptima coincidiría con la proporcional.
El muestreo por conglomerados es más preciso que el MSA con el mismo tamaño de muestra.
En el muestreo por conglomerados conviene que las unidades dentro de cada conglomerado se parezcan mucho entre sí.
El muestreo en varias etapas exige el marco completo de las unidades finales desde el inicio.
En un diseño polietápico la probabilidad de inclusión es el producto de las probabilidades de cada etapa.
Si el marco está ordenado según una variable relacionada con la de interés, el muestreo sistemático tiende a ser más preciso que el MSA.

Parte B. Respuesta corta.

¿Por qué en el muestreo sistemático con salto fraccionario se trunca en lugar de redondear?
Explique con sus palabras por qué la media estratificada debe ponderarse.
¿Qué significa que un diseño sea autoponderado?
Un conglomerado y un estrato pueden estar formados por los mismos grupos. ¿Qué los diferencia entonces?
¿Por qué se recomienda seleccionar 20 conglomerados o más?

Utilice R. Utilice los conjuntos de datos que vienen instalados con R.

Parte A. Estratificado con iris (150 flores, 3 especies de 50).

Calcule la media poblacional de Sepal.Length y la media de cada especie.
Con \(n = 30\) y afijación proporcional, determine \(n_h\), seleccione la muestra y estime \(\bar{y}_{st}\). Compare con el parámetro.
Seleccione ahora un MSA de \(n = 30\) y compare ambas estimaciones.
Simule 1 000 muestras de cada diseño y compare las varianzas empíricas de las estimaciones. ¿Cuál resultó más preciso y por qué?

Parte B. Sistemático con quakes (1 000 sismos).

Calcule la media poblacional de mag. Determine \(k\) para \(n = 50\), sortee el arranque y estime la media.
Calcule las \(k\) medias correspondientes a todos los arranques posibles. ¿Qué tan dispersas resultan?
Ordene la base por mag y repita el inciso f. ¿Qué cambió y por qué?

Parte C. Conglomerados con ChickWeight.

Trate cada pollo (Chick) como un conglomerado. ¿Cuántos conglomerados hay y de qué tamaño?
Seleccione 10 pollos al azar, observe todas sus mediciones y estime el peso promedio. Compare con la media poblacional.
Seleccione un MSA con el mismo número de observaciones y compare ambas estimaciones.
Repita 500 veces los incisos i y j, y compare las varianzas empíricas. Comente el resultado a la luz de lo visto en clase.