Muestreo Probabilístico - Parte 2

[XS-1130 Principios de Inferencia]

Christopher Torres Rojas
christopher.torres@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Lo que hemos visto

De la primera parte ya sabemos que:

  • Un diseño es probabilístico si toda unidad tiene probabilidad \(\pi_k\) conocida y positiva de ser seleccionada.

  • El estimador \(\bar{y}_s\) es una variable aleatoria con su propia distribución muestral, esperanza y varianza.

  • Bajo muestreo aleatorio simple sin reemplazo:

\[E(\bar{y}_s) = \bar{Y} \qquad \operatorname{Var}(\bar{y}_s) = \frac{S^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)\]

Importante

Lo que veremos ahora: cada diseño muestral tiene su propio estimador y su propia fórmula de varianza. Usar la fórmula equivocada no cambia la estimación puntual, pero sí cambia el error estándar que se reporta, y con él todas las conclusiones.

Pasos para realizar un muestreo

Procedimiento general

  1. Definir la población objetivo y la unidad de estudio.

  2. Construir o conseguir el marco muestral.

  3. Elegir el diseño muestral (simple, sistemático, estratificado, conglomerados o una combinación).

  4. Determinar el tamaño de muestra, a partir del error permisible y la confianza deseada.

  5. Seleccionar la muestra con un mecanismo aleatorio, documentando la semilla.

  6. Recolectar la información y controlar la no respuesta.

  7. Estimar los parámetros usando los pesos del diseño y reportar el error estándar.

Requisitos del marco muestral

El marco muestral es el listado o mapa que representa a todos los miembros de la población. Para que el diseño funcione debe cumplir:

  1. Debe contener todos los elementos de la población en estudio.

  2. Cada unidad de estudio debe estar representada una sola vez.

  3. Cada unidad debe estar representada de forma individual, no en grupos o conglomerados.

  4. No debe contener elementos que no pertenezcan a la población.

Nota

En la práctica el listado casi nunca es perfecto y difiere un poco de la población meta teórica. Por eso conviene documentar sus limitaciones desde el inicio: el marco define, en los hechos, sobre cuál población se puede concluir.

Los cuatro diseños que estudiaremos

En los cuatro casos \(n = 20\) de \(N = 100\), o sea \(\pi_k = 0.2\). Lo que cambia es cuáles combinaciones de unidades son posibles, y eso modifica la precisión.

Muestreo Simple al Azar - Definición

Definición formal

Un diseño es de muestreo simple al azar sin reemplazo (MSA) de tamaño \(n\) si todas las muestras posibles de tamaño \(n\) tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas:

\[p(s) = \frac{1}{\binom{N}{n}} \qquad \text{para cada una de las } \binom{N}{n} \text{ muestras}\]

Importante

La definición formal es más exigente que la frase inicial: que todos los elementos sean equiprobables no garantiza que todas las muestras lo sean. El muestreo sistemático cumple lo primero, pero no lo segundo.

MSA: probabilidad de inclusión

¿Por qué \(\pi_k = n/N\)?

Para contar las muestras que contienen a la unidad \(k\): la fijamos y elegimos las \(n-1\) restantes entre las \(N-1\) disponibles, es decir \(\binom{N-1}{n-1}\) formas. Entonces:

\[\pi_k = \frac{\binom{N-1}{n-1}}{\binom{N}{n}} = \frac{(N-1)!\;\;n!}{N!\;\;(n-1)!} = \frac{n}{N}\]

Como \(\pi_k\) es igual para todas las unidades, el peso de muestreo es constante:

\[w_k = \frac{1}{\pi_k} = \frac{N}{n}\]

Cada unidad de la muestra “representa” a \(N/n\) unidades de la población.

MSA: Estimadores

Media, total y proporción

\[\underbrace{\bar{y}_s = \frac{1}{n}\sum_{k \in s} y_k}_{\text{media}} \qquad \underbrace{\hat{p} = \frac{a}{n}}_{\text{proporción}}\]

donde \(a\) es el número de unidades de la muestra que poseen el atributo.

Los tres son insesgados: \(E(\bar{y}_s) = \bar{Y}\) y \(E(\hat{p}) = P\).

Nota

La proporción es un caso particular de la media: basta definir \(y_k = 1\) si la unidad tiene el atributo y \(y_k = 0\) si no lo tiene.

MSA: Las varianzas de los estimadores

\[\widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_s) = \frac{s^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right) \qquad \widehat{\operatorname{Var}}(\hat{p}) = \frac{\hat{p}\,\hat{q}}{n-1}\left(1-\frac{n}{N}\right)\]

Importante

El error estándar es la raíz de estas cantidades: \(ee(\bar{y}_s) = \sqrt{\widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_s)}\). Es lo que se reporta junto con la estimación.

MSA: procedimiento de selección

Pasos

  1. Definir la población e identificar su tamaño \(N\).

  2. Asignar un número único a cada elemento del marco, de \(1\) a \(N\).

  3. Seleccionar \(n\) números aleatorios entre \(1\) y \(N\), mediante tablas de números aleatorios, un generador de computadora o un sorteo manual.

  4. Las unidades que llevan esos números constituyen la muestra.

  5. Documentar la semilla para que el proceso sea reproducible.

Importante

Los números se generan antes de mirar los datos, y no se sustituye ninguna unidad porque sea difícil de localizar: sustituirla rompe la equiprobabilidad e introduce sesgo de selección.

MSA: ejemplo con una población real

Trabajaremos con una población de 134 399 personas graduadas, clasificadas por grado académico y estudiaremos su gasto en transporte mensual:

Cargue los datos y obtenga los valores parámetros poblacionales (Media Poblacional y Desviación Población):

#Carga de Datos
load("marco_muestral.Rdata")

#Primeros 6 elementos del marco muestral
head(marco) 
  id        grado gasto
1  1 Bachillerato  7495
2  2 Bachillerato 11099
3  3 Bachillerato 12174
4  4 Bachillerato  8194
5  5 Bachillerato 13759
6  6 Bachillerato 16114
#Valores Poblacionales
c(media_poblacional = mean(marco$gasto), desv = sd(marco$gasto))
media_poblacional              desv 
        12600.773          4203.754

MSA: selección y estimación en R

Ahora seleccionemos 749 individuos en un muestreo simple al azar sin reemplazo.

set.seed(2026) #Semilla Aleatoria

N <- nrow(marco) #Tamaño de Población
n <- 749        #Tamaño de 

elegidos <- sample(1:N, size = n)          # muestreo simple al azar

elegidos[1:50]  #Primeras 50 Selecciones Aleatorias del ID
 [1]  36473  18726   1647  45343  88920 131151   1134  22508  69558  77694
[11]  74717  39436  29284  94381  19305  41453 123625 134080  78718  58693
[21]  56221  58982  79661  89969  11860 105317  38691  21096   3381  51041
[31]  74156   3987  30305  42098    276  98844  22050   4897  41801   3180
[41] 113964   1763  98658   7394  29386   6459 116917 102950 106805   9378
muestra  <- marco[elegidos, ]
head(muestra)   #Primeros 6 Individuos seleccionados 
           id        grado gasto
36473   36473 Bachillerato 11133
18726   18726 Bachillerato 10304
1647     1647 Bachillerato 17632
45343   45343 Bachillerato 11350
88920   88920    Diplomado 10915
131151 131151     Maestría 10987

MSA: selección y estimación en R

Estimemos la media muestral y obtengamos su error estándar:

\[\small \widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_s) = \frac{s^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right) \qquad ee(\bar{y}_s) = \sqrt{\widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_s)}\]

media <- mean(muestra$gasto)     #media muestral
s2    <- var(muestra$gasto)      #varianza muestral (s^2)
ee    <- sqrt((s2/n) * (1 - n/N))          # error estándar del promedio muestral
round(c(media_muestral = media, error_estandar = ee), 2)
media_muestral error_estandar 
      12537.81         143.82

Más adelante veremos que podemos acotar el parámetro entre dos valores, para el caso particular de la media poblacional \(\mu\) tenemos que: \(\text{Si } n\to\infty\) entonces con 95% de confianza:\[\small \mu \in \left[ \bar{y}_s - 1.96\cdot ee_{(\bar{y}_s)} \quad , \bar{y}_s + 1.96\cdot ee_{(\bar{y}_s)} \right]\]

round(c(inferior = media - 1.96*ee, superior = media + 1.96*ee), 2)
inferior superior 
12255.91 12819.70

MSA: lo que no garantiza

table(muestra$grado)                       # composición de la muestra

Bachillerato    Diplomado    Doctorado Especialidad Licenciatura     Maestría 
         367          122            1           12          177           56 
 Profesorado 
          14 
Nh <- table(marco$grado)                   # Composición de la Población
round(n * Nh/N, 1)                         # Lo que esperaríamos en la muestra

Bachillerato    Diplomado    Doctorado Especialidad Licenciatura     Maestría 
       335.9        160.1          1.7         11.9        172.8         51.8 
 Profesorado 
        14.7

Importante

El MSA reproduce en promedio la composición de la población, pero en una muestra concreta los grupos pequeños quedan al azar. Con \(N_{\text{Doctorado}} = 306\) de 134 399, lo esperado son 2 doctorados: podrían salir 0, 1 o 5.

Si el estudio necesita resultados por grado académico, el MSA no sirve: hay que estratificar.

MSA: ventajas y desventajas

Ventajas

  • Simplicidad: es el método más fácil de entender y aplicar, y todas las fórmulas tienen forma cerrada.

  • No sesgado: todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados.

  • Representatividad: da una buena representación de la población si la muestra es suficientemente grande.

  • Base para otros métodos: es el punto de partida de todos los diseños más complejos.

Desventajas

  • No garantiza equilibrio: si la población es muy heterogénea, una muestra puede no capturar todas sus características.

  • Poco práctico: con poblaciones muy grandes el proceso de selección y de recolección resulta costoso y lento.

  • Requiere lista completa de todos los miembros de la población.

  • Las unidades quedan dispersas geográficamente, lo que encarece el trabajo de campo.

Tamaño de muestra en el MSA

¿De dónde sale la fórmula?

Se parte del error de muestreo permisible \(e\): la diferencia máxima que estamos dispuestos a tolerar entre la estimación y el parámetro, con una confianza \(1-\alpha\).

\[e = z_{1-\alpha/2}\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{n} = \frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{e} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\;n_0 = \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{e}\right)^2\;}\]

Cuatro elementos a decidir

  1. El error permisible (o precisión deseada) \(e\): cuánto estamos dispuestos a equivocarnos.
  2. La confianza \(1-\alpha\), que fija el valor \(z\).
  3. La variabilidad de la característica (\(\sigma\) para medias, \(P\) para proporciones).
  4. Si la población es finita y conocida, para aplicar la corrección.

Valores de \(z\) según la confianza

Confianza \((1-\alpha)\) Significancia \((\alpha)\) \(z_{1-\alpha/2}\)
0.90 0.10 1.645
0.91 0.09 1.695
0.92 0.08 1.751
0.93 0.07 1.812
0.94 0.06 1.881
0.95 0.05 1.960
0.96 0.04 2.054
0.97 0.03 2.170
0.98 0.02 2.326
0.99 0.01 2.576 
qnorm(1 - 0.05/2)        # el mismo valor, calculado en R
[1] 1.959964

Tamaño de muestra para la media

Población infinita o muy grande

\[n_0 = \frac{z^2_{1-\alpha/2}\;\sigma^2}{e^2}\]

Población finita (corrección)

\[n = \frac{n_0}{1 + \dfrac{n_0}{N}}\]

Importante

Siempre se redondea hacia arriba: un tamaño menor no alcanza la precisión pedida.

La corrección por población finita siempre reduce el tamaño requerido.

Ejemplo para promedios

Ejemplo. Se desea estimar el gasto mensual promedio en transporte de las 134 399 personas graduadas. Un estudio piloto arrojó una desviación estándar de ₡4 200. Se quiere un error máximo de ₡300 con una confianza del 95%.

Solución a mano:

\[n_0 = \left(\frac{1.96 \times 4200}{300}\right)^2 = (27.44)^2 = 752.93 \quad \Longrightarrow \quad n_0 = 753\]

\[n = \frac{752.93}{1 + \dfrac{752.93}{134\,399}} = \frac{752.93}{1.005602} = 748.7 \quad \Longrightarrow \quad n = 749\]

z <- qnorm(0.975); sigma <- 4200; e <- 300

n0 <- (z*sigma/e)^2
n_fin <- n0/(1 + n0/N)

ceiling(c(sin_correccion = n0, con_correccion = n_fin))
sin_correccion con_correccion 
           753            749

Tamaño de muestra para proporciones

Como la proporción es una media de ceros y unos, con \(\sigma^2 = P\,Q\):

Fórmulas

\[n_0 = \frac{z^2_{1-\alpha/2}\;P\,Q}{e^2} \qquad \qquad n = \frac{n_0}{1 + \dfrac{n_0}{N}}\]

con \(Q = 1 - P\).

Importante

¿Y si no conocemos \(P\)? El producto \(PQ = P(1-P)\) alcanza su máximo en \(P = 0.5\), donde \(PQ\)vale \(0.25\). Tomar \(P = 0.5\) da el tamaño más conservador: garantiza el error deseado sea cual sea el verdadero valor de \(P\).

Derivando: \(\frac{d}{dP}\left[P - P^2\right] = 1 - 2P = 0 \Rightarrow P = 0.5\), con segunda derivada \(-2 < 0\).

¿Por qué \(P = 0.5\)?

Las dos curvas son la misma función reescalada: \(n_0\) es \(P(1-P)\) multiplicado por la constante \(z^2/e^2\). Por eso el tamaño más exigente siempre ocurre en \(P = 0.5\), y cae con rapidez conforme \(P\) se acerca a 0 o a 1. Con \(P = 0.1\) bastarían 385 personas en lugar de 1068.

Ejemplo para proporciones

La Universidad de Costa Rica va a invertir en cursos de inglés y desea conocer la proporción de estudiantes que deberá mejorar su dominio del idioma. Según los exámenes de nivelación, cerca del 65% de los 80 000 estudiantes ya tiene dominio del idioma. Estime el tamaño de muestra con un error máximo del 5% y una confianza del 95%.

Solución a mano: el atributo de interés es no tener dominio, así que \(P = 0.35\) y \(Q = 0.65\).

\[n_0 = \frac{(1.96)^2(0.35)(0.65)}{(0.05)^2} = \frac{0.87396}{0.0025} = 349.6 \quad \Longrightarrow \quad n_0 = 350\]

\[n = \frac{349.6}{1 + \dfrac{349.6}{80\,000}} = 348.1 \quad \Longrightarrow \quad n = 349\]

Ejemplo para proporciones en R

N_ing <- 80000; p <- 0.35; e <- 0.05
z <- qnorm(0.975)

n0 <- z^2 * p * (1-p) / e^2
n_fin <- n0/(1 + n0/N_ing)

ceiling(c(sin_correccion = n0, con_correccion = n_fin))
sin_correccion con_correccion 
           350            349 
# ¿Cuánto costaría no tener la información previa? (P = 0.5)
n0_c <- z^2 * 0.25 / e^2
ceiling(c(conservador = n0_c, conservador_con_fpc = n0_c/(1 + n0_c/N_ing)))
        conservador conservador_con_fpc 
                385                 383

Nota

Conocer que \(P \approx 0.35\) permite entrevistar 34 personas menos. Cuanto más lejos esté \(P\) de 0.5, mayor es el ahorro.

Criterios prácticos

Al fijar el tamaño de muestra

  • Reducir el error a la mitad exige cuadruplicar \(n\), porque \(n\) aparece elevado al cuadrado en la fórmula.

  • El tamaño calculado es el de las unidades efectivamente entrevistadas. Si se espera un 20% de no respuesta, hay que seleccionar \(n/0.8\) unidades.

  • Si hay varias variables de interés, se calcula \(n\) para cada una y se toma el mayor.

  • Si se quieren estimaciones por subgrupo, el tamaño debe calcularse para el subgrupo más pequeño, no para el total.

  • Estas fórmulas valen para el MSA. Con otro tipo de diseño se deben modificar.

Ejercicios

Resuelva a mano de ser posibel y en R. Varios ejercicios utilizan el archivo marco_muestral.Rdata visto en clase.

¿Qué tan lejos queda el estimador del parámetro?

Este ejercicio es guiado: siga los pasos y comente cada resultado.

  1. Cargue marco_muestral.Rdata y calcule los siguientes parámetros poblacionales del gasto: la media \(\mu\), la varianza \(\sigma^2\) y la desviación estándar \(\sigma\). Calcule además la proporción \(P\) de personas con grado de Licenciatura.

  2. Con set.seed(1) seleccione una muestra simple al azar sin reemplazo de \(n = 50\) personas y calcule los cuatro estimadores correspondientes: \(\bar{y}_s\), \(s^2\), \(s\) y \(\hat{p}\).

  3. Construya una tabla de tres columnas: parámetro, estimador y diferencia (estimador \(-\) parámetro). ¿Cuál de los cuatro quedó relativamente más lejos de su parámetro?

  4. Repita los incisos b y c con \(n = 500\) y con \(n = 5\,000\). ¿Qué le ocurre a las diferencias conforme crece \(n\)?

  5. Vuelva a \(n = 50\), pero ahora con las semillas 2, 3 y 4. ¿Las diferencias tienen siempre el mismo signo? ¿Cómo se llama esta diferencia entre el estimador y el parámetro?

  6. Calcule \(ee(\bar{y}_s)\) para \(n = 50\), \(500\) y \(5\,000\). Compare cada error estándar con la magnitud de la diferencia observada en ese mismo \(n\). ¿Le parece razonable lo que obtuvo?

  7. Un compañero afirma que su muestra “está mala” porque \(\bar{y}_s \neq \mu\). Explique en dos o tres líneas por qué esa afirmación es incorrecta.

Identifique antes de calcular. En cada situación marque con una equis la opción correcta en las dos preguntas. No es necesario calcular el tamaño de muestra.

  1. Se desea estimar el gasto promedio mensual en electricidad de los hogares de un país que tiene 1.6 millones de hogares. Un estudio piloto arrojó una desviación estándar de ₡9 000 y se desea un error máximo de ₡400 con 95% de confianza.

    ¿Qué parámetro se estima?

    ¿Corresponde aplicar la corrección por población finita?

  2. Se desea conocer qué porcentaje de las 540 fincas de un cantón utiliza riego por goteo. No existen estudios previos sobre el tema. Se desea un error de 5 puntos porcentuales al 95% de confianza.

    ¿Qué parámetro se estima?

    ¿Corresponde aplicar la corrección por población finita?

  3. Una clínica atiende 800 pacientes por semana y desea estimar el tiempo promedio de espera. Un estudio piloto arrojó una desviación estándar de 12 minutos y se desea un error máximo de 1 minuto al 95% de confianza.

    ¿Qué parámetro se estima?

    ¿Corresponde aplicar la corrección por población finita?

  4. Un partido político desea estimar la intención de voto a favor de su candidato en un país con 3.5 millones de personas electoras. Encuestas anteriores sugieren que ronda el 28%. Se desea un error de 3 puntos porcentuales al 95% de confianza.

    ¿Qué parámetro se estima?

    ¿Corresponde aplicar la corrección por población finita?

  5. Se desea estimar la proporción de piezas defectuosas de un lote de 300 unidades. Los registros históricos indican alrededor de un 4% de defectuosas. Se desea un error de 2 puntos porcentuales al 99% de confianza.

    ¿Qué parámetro se estima?

    ¿Corresponde aplicar la corrección por población finita?

  6. Una municipalidad desea estimar el promedio de años de residencia de sus 2 100 habitantes adultos. No cuenta con ningún estudio previo ni con información sobre la variabilidad de esa característica.

    ¿Qué parámetro se estima?

    Con la información disponible, ¿se puede calcular el tamaño de muestra?

Cálculo del tamaño de muestra. En cada inciso determine primero \(n_0\) y luego aplique la corrección \(n = \dfrac{n_0}{1 + \dfrac{n_0}{N}}\) cuando corresponda.

  1. Una universidad con 18 500 estudiantes desea estimar la proporción que trabaja mientras estudia. No hay información previa. Se desea un error de 3.5 puntos porcentuales al 95% de confianza.

  2. Repita el inciso a suponiendo que un estudio anterior indica que esa proporción ronda el 42%. ¿Cuántas entrevistas se ahorran?

  3. Una cooperativa con 620 personas asociadas desea estimar el tiempo promedio que tarda un trámite. Un piloto arrojó \(s = 3.4\) minutos y se desea un error de 0.3 minutos al 99% de confianza.

  4. Repita el inciso c al 95% de confianza. ¿Qué proporción del tamaño original se necesita ahora?

  5. Una empresa con 45 000 clientes desea estimar la proporción de clientes satisfechos con un error de 2 puntos porcentuales al 95% de confianza, sin información previa. Si además espera un 25% de no respuesta, ¿a cuántos clientes debe contactar?

  6. Observe los incisos a, c y e: en unos la corrección por población finita cambia mucho el resultado y en otros casi nada. Explique de qué depende.

Del tamaño de muestra a la estimación. Trabaje con marco_muestral.Rdata.

  1. Cargue el marco y obtenga \(N\), la media y la desviación estándar poblacionales del gasto.

  2. Suponga que esa desviación proviene de un estudio piloto. Determine el tamaño de muestra necesario para estimar el gasto promedio con un error máximo de ₡200 al 95% de confianza. Calcule \(n_0\) y luego \(n = n_0/(1 + n_0/N)\).

  3. ¿Cuánto cambió el resultado al aplicar la corrección? Explique por qué ocurre eso en esta población.

  4. Con set.seed(2026) seleccione la muestra del tamaño obtenido y estime la media, la varianza, la desviación estándar y el error estándar de la media.

  5. Calcule la diferencia entre la media muestral y la media poblacional. ¿Resultó menor que dos errores estándar?

  6. Estime la proporción de personas con grado de Bachillerato y calcule su error estándar con la fórmula que corresponde a una proporción.

  7. Repita la selección del inciso d con diez semillas distintas y guarde las diez medias obtenidas. Calcule el promedio y la desviación estándar de esas diez medias. Compare esa desviación con el error estándar teórico del inciso d y comente el resultado.

Interpretación. Responda en dos o tres líneas cada pregunta.

  1. Un estudiante obtuvo una media muestral de ₡12 640 cuando el parámetro es ₡12 600 y concluye que cometió un error de cálculo. Comente la afirmación.

  2. Explique la diferencia entre la desviación estándar muestral \(s\) y el error estándar \(ee(\bar{y}_s)\). ¿Cuál de las dos disminuye al aumentar \(n\) y por qué?

  3. ¿Por qué el error estándar de la media prácticamente no depende del tamaño de la población cuando \(N\) es muy grande?

  4. Dos estudios usan \(n = 400\): uno en una población de 2 000 y otro en una de 2 millones, ambos con la misma \(S^2\). ¿Cuál tendrá menor error estándar? Justifique con la fórmula.

  5. Un informe de prensa señala que una encuesta se realizó con \(n = 500\) personas y reporta un margen de error de \(\pm 4.4\) puntos porcentuales. ¿Con cuál valor de \(P\) y cuál nivel de confianza es consistente ese margen? Verifique el cálculo.

  6. ¿Por qué el tamaño de muestra siempre se redondea hacia arriba y nunca hacia abajo?

  7. En el ejemplo de los cursos de inglés, ¿qué habría cambiado si la población fuera de 800 estudiantes en lugar de 80 000? Calcúlelo y comente.