Muestreo Probabilístico - Parte 1

[XS-1130 Principios de Inferencia]

Christopher Torres Rojas

christopher.torres@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

MOTIVACIÓN

Estadística Inferencial

Censo vs Muestra

Censo

Se observan todas las unidades de la población.

• No hay error de muestreo.
• Costoso y lento.
• Más expuesto a errores de medición y de registro (mucho personal, poco control).

Muestra

Se observa una parte de la población.

• Existe error de muestreo, pero se puede cuantificar.
• Rápida y económica.
• Permite mayor control de calidad en la medición.

Nota

Estadística descriptiva vs inferencial. La descriptiva resume lo observado; la inferencial usa lo observado en la muestra para concluir sobre la población, acompañando la conclusión de una medida del error. Este tema es el punto de partida de la inferencia.

Razones para muestrear

1. Establecer contacto con toda la población requiere mucho tiempo.

2. El costo de estudiar todos los elementos resulta prohibitivo.

3. Es imposible verificar físicamente todos los elementos.

4. Algunas pruebas son de naturaleza destructiva (probar la resistencia de un cable lo inutiliza).

5. Los resultados de la muestra son adecuados: bien diseñada, una muestra da respuestas suficientemente precisas para decidir.

Importante

La pregunta central del tema no es “¿cómo consigo una muestra?” sino:

¿Cómo debo seleccionar la muestra para poder cuantificar el error que cometo al usarla?

La respuesta es: Usando el azar de forma controlada.

Conceptos básicos

• Población de estudio: conjunto de todas las unidades sobre las que se desea concluir.

• Unidad de estudio: el elemento del que interesa medir la característica.

• Unidad informante: quien proporciona la información (puede no coincidir con la unidad de estudio).

• Unidad de muestreo: el elemento que efectivamente se selecciona (por ejemplo, una unidad geográfica mínima).

• Marco muestral: listado o material que permite identificar y ubicar a las unidades de muestreo.

Ejemplo integrador

Encuesta sobre rendimiento escolar en Costa Rica:

Concepto	En este estudio
Población de estudio	Niños de 7 a 12 años del país
Unidad de estudio	El niño
Unidad informante	La madre, el padre o encargado
Unidad de muestreo	La vivienda (dentro de una UPM)
Marco muestral	Marco de áreas del INEC (UPM)

Los tres valores de un parámetro

Para una misma característica poblacional —por ejemplo el ingreso promedio— coexisten tres cantidades distintas:

1. Valor real: lo que se obtendría al recolectar la información de toda la población sin omisiones ni errores. Es inalcanzable en la práctica.

2. Valor poblacional: lo que se obtiene al censar la población, sujeto a errores de recolección. Es una aproximación al valor real.

3. Valor muestral (estimación puntual): lo que se obtiene de la muestra. Es una aproximación al valor poblacional y cambia según las unidades que hayan caído en la muestra.

\[\tiny \underbrace{\text{Ingreso promedio real}}_{\text{inalcanzable}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\text{Ingreso promedio poblacional}}_{\text{censo}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\text{Ingreso promedio muestral} = \text{₡}800\,000}_{\text{lo que reportamos}}\]

Notación de población finita

Sea la población

\[U = \{1, 2, \dots, k, \dots, N\}\]

y sea \(y_k\) el valor de la variable de interés en el indivuo \(k\). Definimos los parámetros:

\[\small \underbrace{T_y = \sum_{k=1}^{N} y_k}_{\text{Total}} \quad \, \underbrace{\bar{Y} = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} y_k}_{\text{Media Poblacional}} \quad \, \underbrace{S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^{N}\left(y_k - \bar{Y}\right)^2}_{\text{Cuasivarianza Poblacional}} \quad \, \underbrace{\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\left(y_k - \bar{Y}\right)^2}_{\text{Varianza Poblacional}}\]

Importante

Estos valores son constantes desconocidas de la población.

La única fuente de aleatoriedad es cuáles unidades entran en la muestra. Sobre esa aleatoriedad se construye toda la teoría.

Usamos mayúsculas para parámetros (\(\bar{Y}\), \(S^2\)) y minúsculas para lo calculado en la muestra (\(\bar{y}\), \(s^2\)).

¿Qué es el error de muestreo?

Definición

El error de muestreo es la diferencia entre el valor muestral y el valor poblacional, debida a haber seleccionado un conjunto particular de elementos:

\[\text{Error de muestreo} = \bar{y}_s - \bar{Y}\]

\[\text{Error de muestreo} = \text{Valor Muestral} - \text{Valor Poblacional}\]

¿Qué problema tiene esta definición?

Para conocerlo habría que hacer un censo… que es justamente lo que queríamos evitar.

Entonces, ¿cómo se calculan los errores de muestreo?

Usando el cálculo de probabilidades: si sabemos con qué probabilidad se pudo haber obtenido cada muestra posible, podemos describir el comportamiento de todos los errores posibles sin calcularlos uno a uno.

Errores de muestreo y de no muestreo

\[\tiny \text{ERROR DE ESTIMACIÓN} = \text{ERROR DE MUESTREO} + \text{ERRORES DE NO MUESTREO}\]

En términos de los tres valores de un parámetro:

\[\underbrace{\bar{y}_s - Y_{\text{real}}}_{\text{error de estimación}} = \underbrace{\left(\bar{y}_s - \bar{Y}\right)}_{\text{error de muestreo}} + \underbrace{\left(\bar{Y} - Y_{\text{real}}\right)}_{\text{errores de no muestreo}}\]

	Error de muestreo	Errores de no muestreo
Origen	Observar solo una parte de la población	Marco, recolección, medición y procesamiento
¿Ocurre en un censo?	No	Sí
¿Disminuye al aumentar \(n\)?	Sí	No; suele aumentar
¿Se puede cuantificar?	Sí, con probabilidades	Difícilmente; se previene con el diseño y la supervisión

Nota

¿Por qué los errores de no muestreo suelen aumentar con \(n\)? Porque una operación más grande requiere más entrevistadores, más cuestionarios que digitar y menos tiempo de supervisión por unidad.

Tipos de errores de no muestreo

1. Errores de cobertura

Provienen del marco muestral: blancos, duplicados o elementos faltantes.

Ej.: una encuesta telefónica que solo marca líneas fijas deja fuera a los hogares que únicamente tienen celular.

2. Errores de no respuesta

• Total: la unidad seleccionada no participa (no se localiza, está ausente o se niega).
• Parcial: la unidad participa, pero deja preguntas sin contestar.

Ej.: un hogar responde toda la encuesta excepto la pregunta sobre sus ingresos.

3. Errores de medición

El valor registrado difiere del valor verdadero.

• El informante: olvido, redondeo, deseabilidad social.
• El entrevistador: lee mal la pregunta o induce la respuesta.
• El cuestionario: preguntas ambiguas o que sugieren una respuesta.
• El instrumento: un equipo mal calibrado.

4. Errores de procesamiento

Ocurren después de recolectar los datos: digitación, codificación o unión de bases de datos.

Ej.: la ocupación de una persona se codifica en una categoría equivocada.

Errores aleatorios y errores sistemáticos

Un error puede ser de dos tipos:

• Aleatorio: varía en dirección de una unidad a otra y tiende a compensarse al promediar. Aumenta la variabilidad, pero no desplaza la estimación.

• Sistemático (sesgo): va siempre en la misma dirección y no se compensa, por grande que sea la muestra. Desplaza la estimación.

Formalmente, el sesgo de un estimador es:

\[\operatorname{Sesgo}(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta\]

Los sesgos con más detalle

Errores no aleatorios (sesgos)

1. Sesgo de medición: la información se registra con un error que va siempre en la misma dirección.

   • Deseabilidad social: se declara menos consumo de tabaco o más actividad física de la real.
   • Recuerdo: “¿cuántas veces visitó al médico el último año?”
   • Redacción: “¿No cree usted que el gobierno debería…?” sugiere la respuesta.
   • Entrevistador: reformula la pregunta y agrega su propia opinión.

2. Sesgo de no respuesta: quienes no responden difieren sistemáticamente de quienes sí responden, en la variable de interés.

   • En una encuesta sobre hábitos de lectura, las personas que no leen tienden a rechazar la entrevista: se sobreestima el hábito de lectura.
   • Una encuesta telefónica en horario laboral sobrerrepresenta a personas jubiladas o desempleadas.
   • Lo que genera el sesgo no es cuántos no responden, sino que quienes no responden sean distintos.

3. Sesgo de selección: las unidades no tienen la probabilidad de selección que supone el diseño. Ocurre sobre todo en muestras no probabilísticas, pero también en diseños probabilísticos cuyo marco no cubre a toda la población.

   • Conveniencia: preguntar por el costo de la vida en un centro comercial de lujo.
   • Autoselección: los oyentes que llaman a un programa de radio para opinar sobre una ley.
   • Marco defectuoso: el Literary Digest obtuvo sus direcciones de directorios telefónicos y registros de automóviles, que en 1936 sobrerrepresentaban a los votantes de mayores ingresos.

Ejemplos: ¿qué tipo de error es?

Situación	Tipo de error	¿Aleatorio o sesgo?	Efecto en la estimación
Al pesar a las personas, quien anota redondea al kilogramo más cercano.	Medición	Aleatorio	Casi no cambia el promedio; agrega algo de variabilidad
En una encuesta de satisfacción, el entrevistador trabaja en la misma institución que se evalúa.	Medición (entrevistador)	Sesgo	Sobreestima la satisfacción
Una encuesta sobre ausentismo escolar se aplica en el aula, y el 15% de los estudiantes seleccionados no llegó ese día.	No respuesta	Sesgo	Subestima el ausentismo: faltan justamente los ausentes
El marco de viviendas tiene diez años y no incluye los residenciales construidos después.	Cobertura	Sesgo, si las viviendas nuevas son distintas	Depende de en qué difieren las viviendas excluidas
Al digitar los cuestionarios se cometen errores sin ningún patrón.	Procesamiento	Aleatorio	Agrega variabilidad
Una encuesta sobre el uso del transporte público se aplica en las paradas de autobús.	Selección	Sesgo	Sobreestima el uso del transporte público

Importante

Un error de muestreo siempre es aleatorio y se controla aumentando \(n\). Un sesgo no se corrige aumentando \(n\): se previene con un buen marco, un buen cuestionario, entrevistadores capacitados y un diseño probabilístico.

Sesgo y varianza: la descomposición del error

Sea \(\hat{\theta}\) un estimador de un parámetro \(\theta\).

Advertencia

Un estimador es una función de los datos de mi muestra (promedio muestral) que intenta estimar un parámetro poblacional (promedio poblacional).

Su calidad se mide con el error cuadrático medio:

\[ECM(\hat{\theta}) = \underbrace{\operatorname{Var}(\hat{\theta})}_{\text{error aleatorio}} + \underbrace{\left[ \operatorname{Sesgo}(\hat{\theta}) \right]^2}_{\text{sesgo}^2}\]

Importante

Consecuencia práctica: aumentar \(n\) reduce la varianza, pero no toca el sesgo. Por eso una muestra enorme mal seleccionada es peor que una muestra pequeña bien seleccionada.

Literary Digest (1936): 2.4 millones de respuestas y una predicción electoral equivocada, frente a las 50 000 de Gallup, correctamente seleccionadas.

Posibles problemas en el marco muestral

Los problemas en el marco muestral son posibles razones de hacer una selección incorrecta de la muestra.

1. Blancos: están en el listado del marco pero no existen en el campo.

2. Duplicados: el elemento aparece más de una vez en el listado, pero en el campo es uno solo.

3. Incompletos (o elementos faltantes): el marco no cubre a toda la población.

Importante

Estos problemas alteran las probabilidades de selección y por lo tanto rompen la teoría:

• Un duplicado tiene el doble de probabilidad de salir que el resto.
• Un elemento faltante tiene probabilidad cero: queda automáticamente fuera de la inferencia, sin importar cuánto crezca \(n\).

El marco muestral define, en la práctica, cuál es realmente la población sobre la que se puede concluir.

Definición

Definición: Muestreo Probabilístico

Un procedimiento de selección es probabilístico si:

1. Se puede especificar el conjunto de todas las muestras posibles.

2. Cada muestra posible \(s\) tiene una probabilidad conocida \(p(s)\) de ser seleccionada.

3. Toda unidad \(k\) de la población tiene probabilidad positiva y conocida de ser seleccionada.

4. La selección se ejecuta con un mecanismo aleatorio, no según el criterio del investigador.

Al conjunto de muestras posibles junto con sus probabilidades se le llama diseño muestral, y cumple las mismas dos condiciones de cualquier función de probabilidad que ya estudiamos:

\[p(s) \ge 0 \qquad \text{y} \qquad \sum_{\text{todas las muestras}} p(s) = 1\]

Probabilidad de inclusión

Definición

La probabilidad de inclusión de la unidad \(k\), denotada \(\pi_k\), es la probabilidad de que esa unidad forme parte de la muestra:

\[\pi_k = P(k \in s) = \sum_{\text{muestras que contienen a } k} p(s)\]

Es la cantidad que hace posible toda la inferencia. Su inverso

\[w_k = \frac{1}{\pi_k}\]

se llama peso de muestreo y se interpreta como “cuántas unidades de la población representa la unidad \(k\)“. Si \(\pi_k = 1/100\), cada persona entrevistada representa a 100 personas.

Nota

En un diseño equiprobable todas las unidades tienen la misma \(\pi_k\). Si además el tamaño de muestra es fijo e igual a \(n\), entonces necesariamente \(\pi_k = n/N\) para toda unidad.

Ejemplo: construir un diseño muestral

Sea \(U = \{1,2,3,4,5\}\) una población de 5 fincas y considere el diseño que selecciona muestras de tamaño 2 con igual probabilidad.

El número de muestras posibles es \(\binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!\,3!} = 10\), cada una con \(p(s) = \dfrac{1}{10}\):

\[\{1,2\}\; \{1,3\}\; \{1,4\}\; \{1,5\}\; \{2,3\}\; \{2,4\}\; \{2,5\}\; \{3,4\}\; \{3,5\}\; \{4,5\}\]

Verificación de que es un diseño válido: \(\sum_s p(s) = \sum_{s=1}^{10} \frac{1}{10} = 1 \;\checkmark\)

Probabilidad de inclusión de la finca 1: aparece en 4 de las 10 muestras, entonces

\[\pi_1 = \tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{10} = \tfrac{4}{10} = 0.4 = \frac{n}{N} = \frac{2}{5} \;\checkmark\]

Como \(\frac{2}{5}= \frac{1}{2.5}\), podemos decir que cada finca muestreada representa a 2.5 fincas de la población.

Probabilístico vs No Probabilístico

Probabilístico

• \(\pi_k > 0\) conocida para todo \(k\).
• Permite estimar el error de muestreo.
• Permite construir intervalos de confianza y hacer pruebas de hipótesis.
• Los resultados son generalizables.

Tipos: aleatorio simple, sistemático, estratificado, conglomerados.

No Probabilístico

• \(\pi_k\) desconocida o nula para algunas unidades.
• No existe teoría que cuantifique el error.
• Alto riesgo de sesgo de selección.
• Cualquier generalización descansa en supuestos no verificables.

Tipos: de conveniencia, voluntarios, intencional o de juicio experto, por cuotas.

Precaución

El muestreo no probabilístico no está prohibido: es legítimo en estudios exploratorios, cualitativos o cuando no existe marco. Lo que no es legítimo es reportar márgenes de error a partir de él.

Tipos de muestreo probabilístico

Diseños básicos

1. Muestreo aleatorio simple (MAS): se seleccionan directamente las unidades, todas con igual probabilidad.

2. Muestreo sistemático: se elige un arranque aleatorio y luego cada \(k\)-ésima unidad de la lista.

3. Muestreo estratificado: se divide la población en grupos y se muestrea dentro de cada uno.

4. Muestreo por conglomerados: se divide la población en grupos y se seleccionan grupos completos.

Nota

Extensiones: muestreo multietápico (conglomerados y luego submuestreo) y muestreo complejo, que combina varios de los anteriores. La ENAHO del INEC, por ejemplo, es estratificada, por conglomerados y bietápica.

Los cuatro diseños, visualmente

En los cuatro casos \(n = 20\) de \(N = 100\), o sea \(\pi_k = 0.2\) para toda unidad. Lo que cambia no es cuántas unidades se observan, sino cuáles combinaciones son posibles, y eso modifica la precisión.

La media muestral es una variable aleatoria

Antes de estudiar cada diseño, necesitamos entender por qué podemos calcular el error de muestreo sin hacer un censo.

La razón es que, una vez fijado el diseño:

La media muestral \(\bar{y}_s\) es una variable aleatoria: toma un valor distinto según la muestra que salga, y cada uno de esos valores tiene una probabilidad conocida.

Y de una variable aleatoria ya sabemos calcular todo:

\[f_{\bar{y}}(\cdot) \qquad F_{\bar{y}}(\cdot) \qquad E(\bar{y}) \qquad \operatorname{Var}(\bar{y})\]

Nota

A la función de probabilidad de un estimador se le llama distribución muestral del estimador.

Construcción de la distribución muestral

Sea \(U = \{1,2,3,4,5\}\) fincas de arroz con cierto nivel de producción (en toneladas):

Los valores de producción de cada finca son:

\[y_1 = 2, \quad y_2 = 4, \quad y_3 = 6, \quad y_4 = 8, \quad y_5 = 10\]

Parámetros poblacionales:

\[\bar{Y} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6 \qquad S^2 = \frac{16+4+0+4+16}{5-1} = \frac{40}{4} = 10\]

donde \(S^2 = \sum_{i=1}^N \frac{(y_i-\bar{Y})^2}{N-1}\) “conocida como cuasivarianza probacional”.

Con \(n = 2\) hay 10 muestras posibles, cada una con probabilidad \(1/10\):

Muestra	\(\{1,2\}\)	\(\{1,3\}\)	\(\{1,4\}\)	\(\{1,5\}\)	\(\{2,3\}\)	\(\{2,4\}\)	\(\{2,5\}\)	\(\{3,4\}\)	\(\{3,5\}\)	\(\{4,5\}\)
valores	2,4	2,6	2,8	2,10	4,6	4,8	4,10	6,8	6,10	8,10
\(\bar{y}_s\)	3	4	5	6	5	6	7	7	8	9

La función de probabilidad de \(\bar{y}_s\)

Agrupando los valores repetidos obtenemos la función de probabilidad del estimador (promedio muestral), exactamente como en el Tema II:

\[\small f_{\bar{y}}(t) = \begin{cases} \frac{1}{10}, & t = 3 \\ \frac{1}{10}, & t = 4 \\ \frac{2}{10}, & t = 5 \\ \frac{2}{10}, & t = 6 \\ \frac{2}{10}, & t = 7 \\ \frac{1}{10}, & t = 8 \\ \frac{1}{10}, & t = 9 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}\]

Esperanza y varianza del estimador

Aplicando las definiciones del Tema II:

\[E(\bar{y}_s) = \sum_t t \cdot f_{\bar{y}}(t) = 3\tfrac{1}{10} + 4\tfrac{1}{10} + 5\tfrac{2}{10} + 6\tfrac{2}{10} + 7\tfrac{2}{10} + 8\tfrac{1}{10} + 9\tfrac{1}{10} = \frac{60}{10} = 6\]

\[\Large \boxed{E(\bar{y}_s) = 6 = \bar{Y}}\]

El estimador es insesgado: en promedio, sobre todas las muestras posibles, acierta.

Y usando el corolario \(\operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2\):

\[E(\bar{y}_s^2) = 9\tfrac{1}{10}+16\tfrac{1}{10}+25\tfrac{2}{10}+36\tfrac{2}{10}+49\tfrac{2}{10}+64\tfrac{1}{10}+81\tfrac{1}{10} = \frac{390}{10}=39\]

\[\operatorname{Var}(\bar{y}_s) = 39 - 6^2 = 3\]

La fórmula general

Para el muestreo aleatorio simple sin reemplazo se cumple, siempre:

\[E(\bar{y}_s) = \bar{Y} \qquad \operatorname{Var}(\bar{y}_s) = \frac{S^2}{n}\left(1 - \frac{n}{N}\right) \, \text{ó} \, \operatorname{Var}(\bar{y}_s) = \frac{\sigma^2}{n}\left(\frac{N-n}{N-1}\right) \]

donde:

\(S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^{N}\left(y_k-\bar{Y}\right)^2\) es usualmente llamada la cuasivarianza poblacional.

\(\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\left(y_k-\bar{Y}\right)^2\) es usualmente llamada varianza poblacional.

Comprobación con nuestro ejemplo (\(S^2 = 10\), \(n=2\), \(N=5\)):

\[\operatorname{Var}(\bar{y}_s) = \frac{10}{2}\left(1-\frac{2}{5}\right) = 5 \times 0.6 = 3 \;\]

El factor de corrección por población finita

\[ \operatorname{Var}(\bar{y}_s) = \frac{S^2}{n}\underbrace{\left(1 - \frac{n}{N}\right)}_{\substack{\text{factor de}\\ \text{corrección}}} \quad \, \text{ó} \, \quad \operatorname{Var}(\bar{y}_s) = \frac{\sigma^2}{n}\underbrace{\left(\frac{N-n}{N-1}\right)}_{\substack{\text{factor de}\\ \text{corrección}}} \]

A los términos \(\left(1 - \dfrac{n}{N}\right) \, \text{ó} \, \dfrac{N-n}{N-1}\) se les llama factor de corrección por población finita (fpc).

Advertencia

La forma exacta del factor depende de cuál varianza poblacional se utilice. En otros textos, y en el tema de estimación, lo verá escrito como \(\dfrac{N-n}{N-1}\). No es un factor distinto: es el mismo, escrito para otra definición de la varianza.

El factor de corrección por población finita

\[ \operatorname{Var}(\bar{y}_s) = \frac{S^2}{n}\underbrace{\left(1 - \frac{n}{N}\right)}_{\substack{\text{factor de}\\ \text{corrección}}} \quad \, \text{ó} \, \quad \operatorname{Var}(\bar{y}_s) = \frac{\sigma^2}{n}\underbrace{\left(\frac{N-n}{N-1}\right)}_{\substack{\text{factor de}\\ \text{corrección}}} \]

Al término \(f = n/N\) se le llama fracción de muestreo.

¿Qué nos dice el fpc?

• Si \(n = N\) (censo): \(1 - f = 0\) y la varianza es cero. No hay error de muestreo.

• Si \(N\) es muy grande respecto a \(n\): \(f \approx 0\) y queda \(\operatorname{Var}(\bar{y}) \approx S^2/n\).

• Lo que determina la precisión es \(n\), no la fracción \(f\). Una muestra de 1000 personas es casi igual de precisa en Costa Rica que en China. Es el error de intuición más común sobre muestreo.

Dos formas del mismo factor: comprobación

En el ejemplo de las fincas: \(\;S^2 = \frac{40}{4} = 10\;\) y \(\;\sigma^2 = \frac{40}{5} = 8\).

\[\small \underbrace{\frac{10}{2}\left(1-\frac{2}{5}\right) = 5 \times 0.6 = 3}_{\text{con } S^2} \qquad\qquad \underbrace{\frac{8}{2}\cdot\frac{5-2}{5-1} = 4 \times 0.75 = 3}_{\text{con } \sigma^2}\]

y <- c(2, 4, 6, 8, 10); 
N <- 5; 
n <- 2

S2     <- var(y)               # divisor N-1: 10
sigma2 <- var(y) * (N-1)/N     # divisor N:  8

c(con_S2 = (S2/n) * (1 - n/N), con_sigma2 = (sigma2/n) * (N - n)/(N - 1))

    con_S2 con_sigma2 
         3          3 

Importante

Lo que no se puede hacer es mezclar: cada varianza va con su factor. Por ejemplo, usar \(S^2\) con \(\frac{N-n}{N-1}\) da \(\frac{10}{2}\cdot\frac{3}{4} = 3.75 \neq 3\).

Cuando se trabaja con el error estándar (la raíz de la varianza), el factor aparece con raíz: \(\sqrt{1-\frac{n}{N}}\) o \(\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\), según la varianza que se use.

**La versión con la varianza muestral**

En la práctica \(S^2\) y \(\sigma^2\) son desconocidas: solo tenemos los datos de la muestra. Se estiman con la varianza muestral

\[s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{k \in s}\left(y_k - \bar{y}_s\right)^2\]

Como \(s^2\) estima a \(S^2\), pero en la práctica (a nivel introductorio) se utiliza como factor para la varianza muestral \(\frac{N-n}{N-1}\):

\[\widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}_s) = \frac{s^2}{n}\left(\frac{N-n}{N-1}\right) \qquad \qquad ee(\bar{y}_s) = \sqrt{\frac{s^2}{n}\left(\frac{N-n}{N-1}\right)}\]

Nota

En muchos textos introductorios, se usa esta versión. Aunque lo correcto es usar el otro factor de corrección\((1-\frac{n}{N})\). La diferencia entre ambas es despreciable salvo en poblaciones muy pequeñas.

Verificación en R: enumeración completa

y <- c(2, 4, 6, 8, 10)
N <- length(y)
n <- 2

muestras <- combn(N, n)        # las 10 muestras posibles 
muestras

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    1    1    1    1    2    2    2    3    3     4
[2,]    2    3    4    5    3    4    5    4    5     5

medias <- apply(muestras, 2, function(i) mean(y[i]))
medias

 [1] 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9

table(medias)/length(medias)   # función de probabilidad de la media muestral

medias
  3   4   5   6   7   8   9 
0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 

Verificación en R: esperanza y varianza

c(media_poblacional = mean(y),
  esperanza_estimador = mean(medias))          # insesgado

  media_poblacional esperanza_estimador 
                  6                   6 

c(var_por_definicion = mean((medias - mean(y))^2),
  var_por_formula    = (var(y)/n) * (1 - n/N)) # coinciden: 3

var_por_definicion    var_por_formula 
                 3                  3 

Nota

var(y) en R divide entre \(N-1\), que es justamente la definición de \(S^2\) que usamos.

Verificación por simulación

Cuando la población es grande no podemos enumerar, pero sí simular muchas muestras:

set.seed(1130)
poblacion <- round(rnorm(800, mean = 500, sd = 120))   # N = 800
N <- 800
n <- 40

simulacion <- replicate(5000, mean(sample(poblacion, n)))

c(media_poblacional  = mean(poblacion),
  promedio_simulado  = mean(simulacion))

media_poblacional promedio_simulado 
         495.2625          495.0926 

c(var_simulada = var(simulacion),
  var_teorica  = (var(poblacion)/n) * (1 - n/N))

var_simulada  var_teorica 
    341.5456     327.7715 

Verificación por simulación

\(\small \text{El estimador se concentra alrededor del parámetro (insesgamiento) y su dispersión es el error de muestreo.}\)

Ejercicios prácticos

Construya la distribución muestral a mano y verifique en R.

• Ejercicio 1
• Ejercicio 2

Una comunidad rural está formada por \(N = 5\) hogares. El número de personas que habitan en cada hogar es:

\[y_1 = 1, \quad y_2 = 2, \quad y_3 = 2, \quad y_4 = 4, \quad y_5 = 6\]

Se selecciona una muestra aleatoria simple sin reemplazo de \(n = 2\) hogares.

1. Calcule \(\bar{Y}\), \(S^2\) y \(\sigma^2\).
2. Enumere las \(\binom{5}{2}\) muestras posibles, los valores de cada una y su promedio \(\bar{y}_s\). ¿Por qué hay muestras distintas que producen el mismo promedio?
3. Construya la función de probabilidad de \(\bar{y}_s\) y verifique que cumple las condiciones de una función de probabilidad.
4. Grafique la función de probabilidad señalando el valor de \(\bar{Y}\).
5. Calcule \(E(\bar{y}_s)\) y determine si el estimador es insesgado.
6. Calcule \(\operatorname{Var}(\bar{y}_s)\) por definición y compruebe el resultado con la fórmula, primero usando \(S^2\) y luego usando \(\sigma^2\).
7. Calcule la probabilidad de que el error de muestreo sea, en valor absoluto, a lo sumo de 1 persona. Interprete el resultado.
8. Determine la probabilidad de inclusión de cada hogar y su peso de muestreo.
9. Verifique en R los incisos b al h utilizando combn().

Un taller tiene \(N = 4\) empleados, con los siguientes años de experiencia:

\[y_1 = 1, \quad y_2 = 4, \quad y_3 = 7, \quad y_4 = 10\]

1. Calcule \(\bar{Y}\), \(S^2\) y \(\sigma^2\).
2. Construya la distribución muestral de \(\bar{y}_s\) para \(n = 2\) sin reemplazo y calcule su esperanza y su varianza.
3. Construya la distribución muestral de \(\bar{y}_s\) para \(n = 3\) sin reemplazo y calcule su esperanza y su varianza.
4. Verifique ambas varianzas con la fórmula. ¿Cuánto vale el factor de corrección en cada caso?
5. Compare los incisos b y c: ¿qué efecto tiene aumentar \(n\) sobre la esperanza y sobre la varianza? ¿Por qué la esperanza no cambia?
6. Grafique ambas distribuciones en la misma escala y comente las diferencias de forma y de dispersión.
7. ¿Cómo sería la distribución muestral si \(n = 4\)? Calcule su varianza y explique el resultado a partir del factor de corrección.
8. Suponga ahora que la selección de \(n = 2\) se hace con reemplazo. Enumere las 16 muestras ordenadas posibles, construya la distribución de \(\bar{y}_s\) y compare su varianza con la del inciso
   2. Compruebe que coincide con \(\sigma^2/n\).
9. Verifique en R todos los incisos anteriores.

Ejercicios de comprensión

• Selección única
• Falso o verdadero
• Identifique y clasifique
• Explique con sus palabras
• Investigue

Marque con una equis la opción correcta.

1. En el muestreo de poblaciones finitas, la fuente de aleatoriedad es:

   • Los valores \(y_k\) de cada unidad.
   • Los errores de medición del instrumento.
   • La selección de las unidades que entran en la muestra.
   • El tamaño \(N\) de la población.

2. En una encuesta sobre el esquema de vacunación de niños menores de 5 años, la persona entrevistada es la madre o el encargado. En este estudio, la unidad informante es:

   • El niño.
   • La madre o el encargado.
   • La vivienda.
   • La unidad primaria de muestreo.

3. Sobre el error de muestreo, es correcto afirmar que:

   • Existe incluso cuando se realiza un censo.
   • Es la diferencia entre el valor real y el valor poblacional.
   • Se elimina por completo con una muestra de al menos 1000 unidades.
   • Puede describirse mediante probabilidades sin conocer el valor poblacional.

4. Un marco muestral incluye 50 viviendas que fueron demolidas hace dos años. Este problema se denomina:

   • Duplicado.
   • Incompleto.
   • Blanco.
   • Sesgo de no respuesta.

5. En un diseño equiprobable con \(n = 200\) y \(N = 5000\), el peso de muestreo de cada unidad es:

   • 25
   • 0.04
   • 200
   • 5000

6. ¿Cuál de los siguientes procedimientos no es probabilístico?

   • Numerar la lista de estudiantes y sortear 30 con R.
   • Sortear 5 escuelas y encuestar a todos sus estudiantes.
   • Elegir un arranque aleatorio y tomar cada décimo expediente.
   • Entrevistar a las primeras 30 personas que salen de un supermercado.

7. Si la fracción de muestreo es \(n/N = 1\), entonces \(\operatorname{Var}(\bar{y}_s)\) vale:

   • \(S^2/n\)
   • 0
   • \(S^2\)
   • No se puede calcular.

8. Se toman dos muestras aleatorias simples de 1000 personas, una en Costa Rica y otra en China, en poblaciones con la misma variabilidad. Respecto a su precisión:

   • La de Costa Rica es mucho más precisa.
   • La de China es mucho más precisa.
   • Tienen prácticamente la misma precisión.
   • No se pueden comparar.

9. En una encuesta con sesgo de selección se duplica el tamaño de muestra. Entonces:

   • El sesgo se reduce a la mitad.
   • La varianza disminuye, pero el sesgo se mantiene.
   • Tanto el sesgo como la varianza se eliminan.
   • El error cuadrático medio se vuelve cero.

10. En un diseño equiprobable de tamaño fijo \(n\), la suma de todas las probabilidades de inclusión es igual a:

    • 1
    • \(N\)
    • \(n\)
    • \(n/N\)

Indique si cada afirmación es falsa o verdadera y justifique su respuesta en una o dos líneas.

1. Un estimador insesgado produce el valor exacto del parámetro en cada una de las muestras posibles.
2. En un censo no existen errores de no muestreo.
3. Si un elemento aparece duplicado en el marco muestral, su probabilidad de inclusión aumenta.
4. El parámetro \(\bar{Y}\) es una variable aleatoria, porque cambia de una muestra a otra.
5. En un diseño probabilístico todas las unidades deben tener la misma probabilidad de inclusión.
6. Con un muestreo por cuotas bien diseñado se puede reportar un margen de error.
7. La distribución muestral de \(\bar{y}_s\) depende del tamaño de muestra \(n\).
8. Los factores \(1-\frac{n}{N}\) y \(\frac{N-n}{N-1}\) producen la misma varianza siempre que cada uno se use con su varianza poblacional correspondiente.
9. Un marco muestral incompleto se corrige aumentando el tamaño de la muestra.
10. Si \(\pi_k = 0.01\), la unidad \(k\) representa a 100 unidades de la población.

1. Para cada estudio identifique la población de estudio, la unidad de estudio, la unidad informante, la unidad de muestreo y el marco muestral.

   1. Una encuesta sobre el uso de redes sociales de adolescentes de 13 a 17 años, en la que se visita la vivienda y responde uno de los padres.
   2. Un estudio del rendimiento en matemáticas de estudiantes de colegios públicos, en el que los colegios se seleccionan a partir del listado oficial del MEP.
   3. Un inventario forestal de un parque nacional, en el que el área se divide en parcelas de una hectárea.

2. Clasifique cada situación como error de muestreo o error de no muestreo. Si se trata de un sesgo, indique de cuál tipo.

   1. Dos muestras aleatorias distintas estiman el ingreso promedio en ₡780 000 y ₡815 000.
   2. En una encuesta sobre consumo de alcohol, las personas declaran consumir menos de lo que realmente consumen.
   3. Una encuesta en línea sobre acceso a internet se publica en redes sociales y responde quien lo desee.
   4. El 45% de los hogares seleccionados no abre la puerta, y se trata principalmente de hogares de ingresos altos.
   5. La balanza de un centro de salud marca siempre 0.3 kg de más.
   6. El marco de empresas utilizado no incluye las inscritas en los últimos 18 meses.

3. Clasifique cada procedimiento como probabilístico o no probabilístico y, si es probabilístico, indique el tipo de diseño.

   1. Se numeran los 800 socios de una cooperativa y se sortean 60.
   2. Se entrevista en un centro comercial a los primeros 20 hombres y las primeras 20 mujeres que acepten participar.
   3. Se sortean 8 de los 40 grupos de un colegio y se encuesta a todos sus estudiantes.
   4. Un periodista entrevista a cinco economistas reconocidos para una nota sobre inflación.
   5. Se divide a los estudiantes por carrera y se sortea dentro de cada una un número proporcional a su tamaño.

1. Explique la diferencia entre valor real, valor poblacional y valor muestral utilizando un ejemplo distinto del ingreso.
2. ¿Por qué la definición “error de muestreo \(= \bar{y}_s - \bar{Y}\)” no puede calcularse en la práctica? ¿Cómo resuelve la teoría ese problema?
3. Explique por qué una muestra muy grande pero mal seleccionada puede ser peor que una muestra pequeña bien seleccionada. Utilice la descomposición del error cuadrático medio.
4. Un compañero afirma: “como \(\pi_k = 0.4\), cada finca tiene un 40% de probabilidad de pertenecer a la población”. Explique el error y redacte la interpretación correcta.
5. Interprete, en el contexto de una encuesta de hogares, un peso de muestreo \(w_k = 350\).
6. Explique por qué la media muestral es una variable aleatoria mientras que la media poblacional no lo es.
7. Explique, sin utilizar la palabra “promedio”, qué significa que \(E(\bar{y}_s) = \bar{Y}\).
8. ¿Por qué la varianza de la media muestral vale cero cuando \(n = N\)? ¿Qué significa eso en términos del error de muestreo?
9. Utilizando la fórmula de la varianza, justifique por qué la precisión depende principalmente de \(n\) y no de la fracción \(n/N\).
10. ¿Qué significa la frase “el marco muestral define, en la práctica, cuál es realmente la población”? Dé un ejemplo.

1. Investigue el caso de la encuesta del Literary Digest de 1936: ¿cómo se construyó su marco muestral?, ¿cuáles sesgos la afectaron? y ¿qué hizo diferente George Gallup?
2. Consulte la documentación metodológica de la Encuesta Nacional de Hogares (ENAHO) del INEC y describa su población de estudio, su unidad de muestreo, su marco muestral y el tipo de diseño utilizado.
3. Investigue qué es un marco de áreas y por qué los institutos de estadística lo prefieren sobre un listado de personas.
4. Busque una encuesta de opinión publicada en un medio de comunicación costarricense. Identifique si el muestreo es probabilístico, el tamaño de muestra, el margen de error y el nivel de confianza reportados. ¿Se justifica el margen de error que se reporta?
5. Investigue qué es la tasa de respuesta de una encuesta y por qué una tasa baja puede introducir sesgo aunque el diseño sea probabilístico.
6. Investigue por qué las encuestas en línea abiertas (“responda si lo desea”) no permiten reportar un margen de error, aunque reúnan miles de respuestas.