Distribuciones de Probabilidad Discretas - Parte 2

[XS-1130 Principios de Inferencia]

Christopher Torres Rojas
christopher.torres@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Distribución Poisson

  • Modela el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio, cuando dichos eventos suceden a una tasa promedio constante \(\lambda\) y de manera independiente entre sí.

  • Es el límite de la distribución Binomial cuando \(n \to \infty\), \(p \to 0\), manteniendo \(np = \lambda\) constante (eventos “raros” en muchas oportunidades).

  • Aplicaciones: Llamadas recibidas en un call center, defectos por unidad de área, arribos a una fila de espera, accidentes de tránsito por día.

Ejemplo:

  • En una reserva biológica se registra, en promedio, la aparición de 5 colonias de un hongo específico por cada hectárea. Si se inspecciona una hectárea al azar, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 3 colonias de este hongo o más?

  • Un sitio web recibe en promedio 2 visitas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado se registren exactamente 3 visitas?

Distribución Poisson

Función de probabilidad:

\[\Large P(X = x) = \begin{cases} \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \quad x = 0,1,2,\dots \\ \\ 0 \quad \text{en otro caso} \end{cases}\]

  • Esperanza:\(\quad E[X] = \lambda\)

  • Varianza: \(\quad \operatorname{Var}(X) = \lambda\)

Nota: en la Poisson la media y la varianza coinciden (equidispersión). Esta propiedad es justamente lo que la distingue de la Binomial Negativa, que se usa cuando los datos presentan sobredispersión (\(\operatorname{Var}(X) > E[X]\)).

Distribución Poisson - Gráfica:

Distribución Poisson

Ejemplo: En una reserva biológica se registra, en promedio, la aparición de 5 colonias de un hongo específico por cada hectárea. Si se inspecciona una hectárea al azar, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 3 colonias de este hongo o más?

Solución: Note que \(\lambda = 5\)

\(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)+\cdots \cdots+ P(X=\infty)\)

\(\small \text{Realizar este cálculo a mano es poco realista.}\)

\(P(X \ge 3) = 1- P(X<3) \quad \small \text{Def de Complemento}\)

\(P(X \ge 3) = 1- \left[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\right]\)

\(P(X \ge 3) = 1- \left[ \dfrac{e^{-5}5^0}{0!} + \dfrac{e^{-5}5^1}{1!} + \dfrac{e^{-5}5^2}{2!}\right] \approx 0.8753\)

Distribución Poisson

Solución en R:

\(P(X \ge 3) = 1- \left[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\right]\)

  • Usando dpois(x, lambda):
1-(dpois(x=0, lambda=5)+ dpois(x=1, lambda=5)+ dpois(x=2, lambda=5))
[1] 0.875348
  • Usando ppois(q, lambda):
1-(ppois(q=2, lambda=5))
[1] 0.875348

Importante

  1. dpois(x, lambda): calcula la probabilidad exacta \(P(X=x)\) que la variable tome el valor “x”.

  2. ppois(q, lambda): calcula la probabilidad acumulada \(P(X \le q)\) hasta el valor “q”.

Distribución Poisson

Ejemplo: Un sitio web recibe en promedio 2 visitas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado se registren exactamente 3 visitas?

Solución: Note que \(\lambda = 2\)

\(P(X = 3) = \dfrac{e^{-2}2^3}{3!} \approx 0.1804\)

Solución en R:

Como se desea la probabilidad exacta usamos la función dpois(x, lambda).

dpois(3, 2)
[1] 0.180447
  • ¿Cuántas visitas se esperan en promedio por minuto?

\[E(X) = \lambda = 2 \text{ visitas}\]

Distribución Poisson (Consideración Importante)

Ejemplo: Un sitio web recibe en promedio 2 visitas por minuto.

A - ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora dada se registren exactamente 110 visitas?

B - ¿Cuál es la probabilidad de se registren entre 90 y 130 visitas (ambos inclusive)?

Solución: Note que \(\lambda_{HORA} \approx 60\cdot\lambda_{MINUTO} = 120\)

A) \(P(X=110)\)

dpois(110, 120)
[1] 0.02475606

B) \(P(90 \le X\le 130)\)

ppois(130, 120) - ppois(89, 120)
[1] 0.8296207

Distribución Binomial Negativa

  • Modela el número de fracasos que ocurren antes de lograr un número fijo \(r\) de éxitos, en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes con una probabilidad de éxito constante \(p\).

  • Aplicaciones: Número de intentos de venta hasta lograr \(r\) cierres, inspección secuencial hasta hallar \(r\) defectos, conteos con sobredispersión en biología y seguros.

Ejemplo:

  • En un proceso de control de calidad, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0.1. Si se inspeccionan las piezas una por una, ¿cuál es la probabilidad de hallar exactamente 5 piezas buenas antes de encontrar la segunda pieza defectuosa?

  • Una vendedora de seguros logra cerrar una venta con probabilidad 0.3 en cada visita a un cliente potencial. ¿Cuál es la probabilidad de que necesite a lo sumo 3 visitas fallidas para lograr su segunda venta?

Distribución Binomial Negativa

Función de probabilidad:
\[ \Large P(X = x) = \begin{cases} \binom{x+r-1}{x} p^r (1-p)^{x}, \quad x = 0,1,2,\dots \\ \\ 0 \quad \text{en otro caso} \end{cases} \]

Donde \(X\) = número de fracasos antes de lograr el \(r\)-ésimo éxito.

  • Esperanza:\(\quad E[X] = r\dfrac{1-p}{p}\)

  • Varianza:\(\quad \operatorname{Var}(X) = r\dfrac{1-p}{p^2}\)

Nota: como \(\operatorname{Var}(X)/E[X] = 1/p > 1\), la Binomial Negativa siempre presenta sobredispersión (\(\operatorname{Var}(X) > E[X]\)), a diferencia de la Poisson donde ambas son iguales.

Distribución Binomial Negativa - Gráfica:

Distribución Binomial Negativa

Ejemplo: En un proceso de control de calidad, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0.1. Si se inspeccionan las piezas una por una, ¿cuál es la probabilidad de hallar exactamente 5 piezas buenas antes de encontrar la segunda pieza defectuosa? (En este ejemplo mi éxito es la pieza defectuosa).

Solución: Note que \(r = 2 \text{ , } p = 0.1 \text{ , } x = 5\)

\(\small P(X = 5) = \binom{5+2-1}{5} (0.1)^2 (0.9)^{5} = \binom{6}{5}(0.1)^2(0.9)^5 \approx 0.0354\)

Solución en R:

dnbinom(x=5, size=2, prob=0.1)
[1] 0.0354294

1 - dnbinom(x, size, prob): calcula la probabilidad exacta \(P(X=x)\) que la variable tome el valor “x”.

2 - pnbinom(q, size, prob): calcula la probabilidad acumulada \(P(X \le q)\) hasta el valor “q”.

!!En R los argumentos son: x = # de fracasos, size = r (# éxitos deseados), prob = p (probabilidad de éxito por ensayo). No confundir size con el size de dbinom: allí era el número total de ensayos \(n\); aquí es el número de éxitos \(r\) que se busca alcanzar. !!

Distribución Binomial Negativa

Ejemplo: Una vendedora de seguros logra cerrar una venta con probabilidad 0.3 en cada visita a un cliente potencial. ¿Cuál es la probabilidad de que necesite a lo sumo 3 visitas fallidas para lograr su segunda venta (éxito)?

Solución: Note que \(r = 2 \text{ , } p = 0.3\)

\(P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\)

\(P(X \le 3) = \binom{1}{0}(0.3)^2(0.7)^0 +\binom{2}{1}(0.3)^2(0.7)^1 + \binom{3}{2}(0.3)^2(0.7)^2 + \binom{3}{3}(0.3)^2(0.7)^3\)

\(P(X \le 3) \approx 0.09 + 0.126 + 0.1323 + 0.1235 \approx 0.4718\)

Solución en R:

pnbinom(q = 3, size = 2, prob = 0.3)
[1] 0.47178

Ejercicios de Identificación y Cálculo

Realice los siguientes ejercicio a mano y en R (Recuerde graficar la función de densidad).

En una intersección vial con alto tránsito, el departamento de ingeniería vial ha determinado que se registran, en promedio, 2.5 colisiones vehiculares por semana. Asuma que la tasa de ocurrencia se mantiene constante. Determine la probabilidad de que:

  1. Se registren exactamente 3 colisiones en una semana.
  2. Ocurran más de 6 colisiones en un período de 2 semanas.
  3. El número de colisiones en una semana esté entre 1 y 4 (ambos inclusive).
  4. Se reporten menos de 2 colisiones, o bien, 8 o más colisiones en un período de 4 semanas.
  5. Ocurran estrictamente más de 1 colisión, pero a lo sumo 3 colisiones en media semana.

Un jugador de tenis se encuentra en la cancha practicando sus primeros saques. Por su nivel técnico, la probabilidad de que logre un “ace” (saque directo sin que el oponente pueda responder) en cada intento es de 0.22. El jugador decide que no terminará su entrenamiento hasta que haya conseguido su quinto “ace”. Determine la probabilidad de que el número de saques que no resultan en “ace” antes de irse a casa sea:

  1. Un valor entre 10 y 15 (ambos inclusive).
  2. Por lo menos 12 saques sin “ace”.
  3. Exactamente 14 saques sin “ace”.
  4. Menor a 5, o igual o mayor a 18 saques sin “ace”.
  5. Estrictamente mayor que 7, pero menor o igual a 13 saques sin “ace”.

Un biólogo forestal realiza un muestreo en un bosque tropical buscando individuos de una especie arbórea amenazada. La probabilidad de que un árbol seleccionado al azar pertenezca a esta especie específica es de 0.18. El muestreo concluye en el momento en que se registran 6 árboles de la especie objetivo. Determine la probabilidad de que el número de árboles de otras especies evaluados antes de detenerse sea:

  1. Exactamente 15 árboles de otras especies.
  2. Estrictamente mayor que 20 y menor o igual que 30 árboles de otras especies.
  3. A lo sumo 12 árboles de otras especies.
  4. Inferior a 8, o al menos 35 árboles de otras especies.
  5. Mínimo 18 árboles de otras especies

En la manufactura de rollos de tela industrial, el control de calidad indica que se presentan, en promedio, 1.2 defectos de hilado por cada 10 metros cuadrados de material. Si se cortan diferentes secciones de tela para inspección, ¿cuál es la probabilidad de encontrar:

  1. Menos de 3 defectos en una sección de 10 metros cuadrados.
  2. Exactamente 5 defectos en un lote de 50 metros cuadrados.
  3. Entre 2 y 6 defectos (ambos inclusive) en una sección de 25 metros cuadrados.
  4. Al menos 4 defectos en un corte de 5 metros cuadrados.
  5. Ningún defecto, o bien, más de 3 defectos en una sección de 20 metros cuadrados.

Un técnico de control de calidad revisa laptops de un mismo lote, una por una; la probabilidad de que una laptop tenga un defecto de fábrica en la batería es 0.08. El técnico continúa revisando hasta encontrar exactamente 2 laptops defectuosas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que revise exactamente 8 laptops en buen estado antes de hallar la segunda defectuosa?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que revise a lo sumo 1 laptop en buen estado antes de hallar la segunda defectuosa?
  3. Calcule la probabilidad de que revise al menos 2 laptops en buen estado antes de hallar la segunda defectuosa.
  4. Encuentre la esperanza matemática y la varianza de laptops en buen estado revisadas antes de hallar la segunda defectuosa.

Un biólogo captura peces uno por uno en un estanque de investigación; la probabilidad de que un pez capturado pertenezca a una especie protegida es 0.25. El biólogo continúa capturando peces hasta registrar 3 peces de la especie protegida.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de capturar exactamente 5 peces de otras especies antes del tercer pez protegido?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de peces de otras especies capturados esté entre 1 y 3 (ambos inclusive)?
  3. Determine el número esperado de peces de otras especies capturados antes de completar los 3 protegidos, y su varianza. (Interprete)

Un centro de atención al cliente recibe en promedio 5.4 llamadas por hora relacionadas con reclamos técnicos. Se registra el número de llamadas de este tipo en una hora seleccionada al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 5 llamadas de reclamo?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban a lo sumo 3 llamadas de reclamo?
  3. Calcule la esperanza y la varianza del número de llamadas de reclamo por hora.
  4. Si la tasa se mantiene constante, ¿cuál es la probabilidad de recibir al menos 8 llamadas de reclamo en un turno de 2 horas?

Un proveedor externo entrega componentes a una fábrica; la probabilidad de que un componente entregado sea defectuoso es 0.2. Un auditor revisa los componentes en el orden en que llegan hasta encontrar exactamente 4 defectuosos.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que revise exactamente 10 componentes en buen estado antes de hallar el cuarto defectuoso?
  2. Determine la probabilidad de que revise menos de 8 componentes en buen estado antes de hallar el cuarto defectuoso.
  3. Determine la probabilidad de que revise 2 o más componentes en buen estado antes de hallar el cuarto defectuoso.
  4. Calcule la esperanza \(E(X)\) y la varianza \(Var(X)\) de componentes en buen estado revisados antes del cuarto defectuoso.

En un invernadero se detectan en promedio 1.2 semillas no germinadas por cada bandeja de 50 semillas plantadas. Se registra el número de semillas no germinadas en una bandeja seleccionada al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que no germinen exactamente 2 semillas?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que no germinen entre 0 y 2 semillas (ambos inclusive)?
  3. Calcular la probabilidad de que no germinen más de 2 semillas.
  4. Encuentre el valor esperado de semillas no germinadas por bandeja y su varianza. (Interprete)

Un coordinador de un grupo de rescate llama a voluntarios uno por uno para formar un equipo de emergencia; la probabilidad de que un voluntario contactado tenga certificación médica avanzada es 0.4. El coordinador continúa llamando hasta reclutar exactamente 3 voluntarios con certificación médica.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de contactar exactamente a 4 voluntarios sin certificación antes de reclutar al tercer certificado?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de contactar al menos 2 voluntarios sin certificación antes de reclutar al tercer certificado?
  3. Determine la esperanza y la varianza de voluntarios sin certificación contactados antes de completar el equipo.

En la revisión editorial de un manuscrito de estadística, se detectan errores tipográficos, de formato o de notación a una tasa promedio de 1.5 errores por página. Suponga que la distribución de los errores es aleatoria y uniforme a lo largo del documento. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren:

  1. Exactamente 0 errores al revisar la mitad de una página.
  2. Entre 3 y 7 errores (ambos inclusive) al leer 2 páginas continuas.
  3. Estrictamente más de 5 errores al inspeccionar un capítulo corto de 3 páginas.
  4. A lo sumo 1 error, o al menos 6 errores en 1 página completa.
  5. Mayor a 1 error y menor o igual a 4 errores al revisar 1.5 páginas.

Otra Parametrización de la Binomial Negativa

Relación con el número total de ensayos (Segunda Forma)

Algunos textos definen la variable \(Y\) como el número total de ensayos hasta el \(r\)-ésimo éxito. Ambas versiones describen el mismo experimento y se relacionan de forma directa:

\[\Large Y = X + r \qquad \qquad X = Y - r\]

donde \(X\) cuenta fracasos (la que usaremos en este laboratorio) y \(Y\) cuenta ensayos totales.

por ende la otra parametrización (la más extendida) es:

\[\Large P(Y = y) = \begin{cases} \binom{y-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}, \quad y = r, r+1, r+2, \dots \\ \\ 0 \quad \text{en otro caso} \end{cases}\]

Otra Parametrización de la Binomial Negativa

Un operador de ventas telefónicas concreta una afiliación en el 18% de sus llamadas. Su meta diaria es lograr 3 afiliaciones.

¿Cuál es la probabilidad de que la tercera afiliación la logre exactamente en la llamada número 10?

Importante

Note que no se pregunta por el número de fracasos, sino por el número de intentos (Y).

Solución: Note que \(r = 3 \text{ , } p = 0.18\)

\(P(Y = 10) = \binom{10-1}{3-1}(0.18)^3(0.82)^{10-3} = \binom{9}{2}(0.18)^3(0.82)^{7}\)

\(P(Y =10) \approx 0.0523\)

La probabilidad de que la tercera afiliación se logre exactamente en la llamada número 10 es de aproximadamente 5.23%.

Otra Parametrización de la Binomial Negativa

\[\small \Large Y = X + r \qquad \qquad X = Y - r\]

donde \(X\) cuenta fracasos (la que usaremos en este laboratorio) y \(Y\) cuenta ensayos totales.

por ende la otra parametrización (la más extendida) es:

\[\small \Large P(Y = y) = \begin{cases} \binom{y-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}, \quad y = r, r+1, r+2, \dots \\ \\ 0 \quad \text{en otro caso} \end{cases}\]

Solución en R:

y = 10
r = 3
x = y-r #7

dnbinom(x, r, prob = 0.18)
[1] 0.05233798

Videos

Teoría

Poisson
a- Universitat Politècnica de València - Distribución de Poisson
b- jbstatistics - An Introduction to the Poisson Distribution

Binomial Negativa
a- Lawrence Leemis - Distribución binomial negativa

Resolución de Problemas (Ejemplos Prácticos)

Poisson
1- Matemóvil - Distribución Poisson
2- FisicayMates - Distribución de Poisson

Binomial Negativa
1- WissenSync - Distribución binomial negativa | Ejemplo 1
*El ejemplo del video es con la parametrización de ensayos totales.