Distribuciones de Probabilidad Discretas

[XS-1130 Principios de Inferencia]

Christopher Torres Rojas
christopher.torres@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Distribución Binomial

  • Modela el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes.

  • En un ensayo de Bernoulli solo se tienen dos resultados posibles (éxito/fracaso) con una probabilidad de éxito constante \(p\).

  • Aplicaciones: Control de calidad (piezas defectuosas/buenas), ensayos médicos (curado/no curado), encuestas binarias.

Ejemplo:

  • En una fábrica una máquina produce 1 pieza defectuosa por cada 100. Si un inspector revisa un lote con 500 piezas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 3 piezas defectuosas o más?
  • Un examen de selección múltiple consta de 10 preguntas. Cada pregunta tiene 4 opciones de respuesta (solo una correcta). Si un estudiante adivina absolutamente todas las respuestas, ¿cuál es la probabilidad de que conteste exactamente 3 correctas?

Distribución Binomial

Función de probabilidad:

\[\Large P(X = x) = \begin{cases} \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0,1,\dots,n \\ \\ 0 \quad \text{en otro caso} \end{cases}\]

  • Esperanza:\(\quad E[X] = np\)

  • Varianza: \(\quad \operatorname{Var}(X) = np(1-p)\)

Distribución Binomial - Gráfica:

Distribución Binomial

Ejemplo: En una fábrica una máquina produce 1 pieza defectuosa por cada 100. Si un inspector revisa un lote de la semana anterior con 500 piezas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 3 piezas defectuosas o más?

Solución: Note que \(n= 500 \text{ y } p = \frac{1}{100} = 0.01\)

\(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)+\cdots \cdots+ P(X=499) + P(X=500)\)

\(\small \text{Realizar este cálculo a mano es poco realista.}\)

\(P(X \ge 3) = 1- P(X<3) \quad \small \text{Def de Complemento}\)

\(P(X \ge 3) = 1- \left[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\right]\)

\(P(X \ge 3) = 1- \left[ \binom{500}{0} 0.01^0 (0.99)^{500} + \binom{500}{1} 0.01^1 (0.99)^{499} + \binom{500}{2} 0.01^2 (0.99)^{498}\right] \approx 0.8766\)

Distribución Binomial

Solución en R:

\(P(X \ge 3) = 1- \left[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\right]\)

  • Usando dbinom(x, size, p):
1-(dbinom(x=0, size=500, p=0.01)+ dbinom(x=1, size=500, p=0.01)+ dbinom(x=2, size=500, p=0.01))
[1] 0.8766142
  • Usando pbinom(q, size, p):
1-(pbinom(q=2, size=500, p=0.01))
[1] 0.8766142

Importante

  1. dbinom(x, size, p): calcula la probabilidad exacta \(P(X=x)\) que la variable tome el valor “x”.

  2. pbinom(q, size, p): calcula la probabilidad acumulada \(P(X \le q)\) hasta el valor “q”.

Distribución Binomial

Ejemplo: Un examen de selección múltiple consta de 10 preguntas. Cada pregunta tiene 4 opciones de respuesta (solo una correcta). Si un estudiante adivina absolutamente todas las respuestas, ¿cuál es la probabilidad de que conteste exactamente 3 correctas?

Solución: Note que \(n= 10 \text{ y } p = \frac{1}{4} = 0.25\)

\(P(X = 5) = \binom{10}{3} 0.25^3 (0.75)^{7} \approx 0.2503\)

Solución en R:

Como se desea la probabilidad exacta usamos la función dbinom(x, size, p).

dbinom(3, 10, 0.25)
[1] 0.2502823
  • ¿Cuántas preguntas se espera que el estudiante conteste correctamente?

\[E(X) = np = 10\cdot 0.25 = 2 \text{ preguntas}\]

Distribución Hipergeométrica

  • Modela el número de éxitos en una muestra de tamaño \(n\) extraída SIN reemplazo de una población finita \(N\).

  • La población total es N = K + [N-K] (donde K = éxitos poblacionales y N-K = fracasos poblacionales).

  • Aplicaciones: Control de calidad en lotes pequeños, extracciones en juegos de cartas o urnas, muestreo ecológico.

Ejemplo:

  • En un lote de 15 piezas producidas, existen 4 con defectos. Si se extrae una muestra aleatoria de 3 piezas sin reemplazo para su inspección, ¿cuál es la probabilidad de hallar exactamente 2 defectuosa?

  • En una clase de 25 alumnos hay 10 becados. Si se eligen 6 al azar, cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 tengan beca?

Distribución Hipergeométrica

Función de probabilidad:
\[ \Large P(X = x) = \begin{cases} \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad \small{\text{si: } \max(0, n-[N-K]) \le x \le \min(n, K)} \\ \\ 0 \quad \text{en otro caso} \end{cases} \]

  • Esperanza:\(\quad E[X] = n\frac{K}{N}\)

  • Varianza:\(\quad \operatorname{Var}(X) = n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\)

Distribución Hipergeométrica - Gráfica:

Distribución Hipergeométrica

Ejemplo: En un lote de 15 piezas producidas, existen 4 con defectos. Si se extrae una muestra aleatoria de 3 piezas sin reemplazo para su inspección, ¿cuál es la probabilidad de hallar exactamente 2 defectuosa? (En este ejemplo mi éxito es la pieza defectuosa).

Solución: Note que \(N= 15 \text{ , } K = 4 \text{ , } \text{ y } n = 3\)

\(\small P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{15-4}{3-2}}{\binom{15}{3}} = \frac{\binom{4}{2}\binom{11}{1}}{\binom{15}{3}} \approx 0.1451\)

Solución en R:

dhyper(2, 4,  11,  3)
[1] 0.1450549

Importante

1 - dhyper(x, m, n k): calcula la probabilidad exacta \(P(X=x)\) que la variable tome el valor “x”.

2 - phyper(q, m, n k): calcula la probabilidad acumulada \(P(X \le q)\) hasta el valor “q”.

!!En R los argumentos son: m = # éxitos, n = # fracasos, k = tamaño de muestra (selección). !!

Distribución Hipergeométrica

Ejemplo: En una clase de 25 alumnos hay 10 becados. Si se eligen 6 al azar, cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 tengan beca?

Solución: Note que \(N= 25 \text{ , } K = 10 \text{ , } \text{ y } n = 6\)

\(P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\)

\(P(X \le 2) = \frac{\binom{10}{0}\binom{25-10}{6-0}}{\binom{25}{6}} +\frac{\binom{10}{1}\binom{25-10}{6-1}}{\binom{25}{6}} + \frac{\binom{10}{2}\binom{25-10}{6-2}}{\binom{25}{6}}\)

\(P(X \le 2) = \frac{\binom{10}{0}\binom{15}{6}}{\binom{25}{6}} +\frac{\binom{10}{1}\binom{15}{5}}{\binom{25}{6}} + \frac{\binom{10}{2}\binom{15}{4}}{\binom{25}{6}} \approx 0.5447\)

Solución en R:

phyper(q = 2, m = 10, n = 15, k = 6)
[1] 0.544664

Ejercicios de Identificación y Cálculo

Realice los siguientes ejercicio a mano y en R (Recuerde graficar la función de densidad).

En una junta directiva de 20 miembros, 12 están a favor de una nueva política de inversión y 8 en contra. Se selecciona un comité de 8 personas al azar para redactar el documento final.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 miembros del comité estén a favor de la política?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 miembros del comité estén a favor?
  3. Halle la probabilidad de que más de 1 miembro del comité esté a favor.
  4. Determine el número esperado de miembros a favor en el comité y su varianza. (Interprete)

Históricamente, una máquina empacadora presenta un fallo de sellado en el 12% de sus envases. En un turno de control continuo, se revisa una muestra aleatoria de 30 envases de manera independiente.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 3 envases con fallo de sellado?
  2. Calcule la probabilidad de que la cantidad de envases con fallos esté entre 4 y 7 (ambos inclusive).
  3. Determine la probabilidad de encontrar al menos 3 envases sin fallos.
  4. Calcule la esperanza y la varianza del número de envases defectuosos en la muestra.

Un nuevo tratamiento preventivo para alergias estacionales tiene una efectividad comprobada del 85%. El tratamiento se administra a un grupo de 25 pacientes en distintos hospitales.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 20 pacientes no presenten síntomas?
  2. Determine la probabilidad de que menos de 18 pacientes se beneficien del tratamiento.
  3. Halle la probabilidad de que más de 3 pacientes se beneficien del tratamiento.
  4. Calcule el valor esperado de pacientes sin síntomas y su dispersión (varianza).

Un almacén tiene un inventario de 50 computadoras portátiles de la misma marca, de las cuales se sabe en secreto que 5 tienen un defecto de fábrica en la batería. Un cliente corporativo compra 10 unidades al azar para su oficina.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 computadoras se encuentren en buen estado?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente se lleve como mucho 1 computadora defectuosa?
  3. Calcule la probabilidad de que al menos 2 unidades estén defectuosas.
  4. Encuentre la esperanza matemática y la varianza de los equipos no defectuosos en esta compra.

En un estanque de investigación biológica hay 40 peces, de los cuales 10 pertenecen a una especie protegida. Un biólogo lanza una red y captura 5 peces al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de capturar exactamente 3 peces de la especie protegida?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de peces protegidos capturados esté entre 1 y 3 (ambos inclusive)?
  3. Determine el número esperado de peces de la especie protegida en la red y su varianza. (Interprete)

Un operador de ventas telefónicas logra concretar una afiliación en el 18% de sus llamadas. En su jornada de la tarde realiza 40 llamadas independientes.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que logre exactamente 5 afiliaciones?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que concrete a lo sumo 3 afiliaciones?
  3. Calcule la esperanza y la varianza de las ventas no concretadas en la jornada.
  4. Calcule la esperanza y la varianza de las ventas concretadas en la jornada.

Un lote de 60 piezas automotrices contiene 12 componentes fabricados por un proveedor externo y el resto por la fábrica principal. Un auditor de calidad toma 15 piezas al azar para una inspección.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 piezas provengan de la fábrica principal?
  2. Determine la probabilidad de hallar menos de 3 piezas de la fábrica principal.
  3. Determine la probabilidad de que 2 o más piezas sean del proveedor externo.
  4. Calcule la esperanza \(E(X)\) y la varianza \(Var(X)\) de las piezas de la fábrica principal en la muestra.

La tasa de germinación de un tipo modificado de semilla agrícola es del 92%. Un agricultor planta 50 de estas semillas en un invernadero controlado.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que no germinen exactamente 5 semillas?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que germinen entre 40 y 42 semillas (ambos inclusive)?
  3. Calcular la probabilidad de que germinen más de 2 semillas.
  4. Encuentre el valor esperado de semillas no germinadas y su varianza. (Interprete)

Un grupo de rescate cuenta con 25 voluntarios base, de los cuales 15 tienen certificación médica avanzada. Se requiere enviar urgentemente un equipo de 7 personas al azar a una zona de desastre.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 miembros del equipo tengan certificación médica?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 paramédicos certificados vayan en el equipo?
  3. Determine la esperanza y la varianza de los voluntarios con certificación en el equipo.

Un basquetbolista encesta 70 de cada 100 tiros libre. Si en una práctica intenta 15 tiros libres de forma independiente.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que anote exactamente 10 de esos tiros?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte menos de 8 tiros?
  3. Calcule la probabilidad de que anote al menos 5 tiros.
  4. Halle el promedio esperado de aciertos y la varianza para esa práctica. (Interprete)

Una baraja española estándar ha sido modificada y ahora contiene 40 cartas, de las cuales 10 pertenecen al palo de Oros. En un juego de mesa, se reparte una mano inicial de 5 cartas a un jugador.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba exactamente 2 cartas de Oros?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la mano contenga entre 1 y menos de 3 cartas de Oros?
  3. Encuentre la probabilidad de que el jugador no reciba ninguna carta de Oros.
  4. Calcule la esperanza y varianza del número de Oros en la mano del jugador.

Una aplicación móvil sufre un cierre inesperado (crash) en el 2 de 100 sesiones de usuario debido a un error de memoria. En un día de monitoreo, se registran 400 sesiones de manera independiente.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran cierres inesperados en exactamente 6 sesiones?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran a lo sumo 6 cierres inesperados?
  3. Halle la probabilidad de registrar 3 o más cierres inesperados.
  4. Determine el número esperado de sesiones con fallos y su varianza.

Videos

Teoría

Binomial
a- Steve Brunton - Bernoulli and Binomial Random Variables **
b- 3Blue1Brown - Binomial distributions

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a- Unidad de Educación a Distancia USM - Distribución Hipergeométrica

Resolución de Problemas (Ejemplos Prácticos)

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1- Matemóvil - Distribución binomial
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1- Equitable Equations - Hypergeometric distributions