[XS-1130 Principios de Inferencia]
\[P(A) = \frac{\text{Casos Favorables}}{\text{Casos Totales}} = \frac{\text{Cardinalidad de A}}{\text{Cardinalidad de }\Omega} = \frac{n(A)}{n}\]
\(0 \leq P(A) \leq 1\)
\(P(A \cup B)= P(A)+P(B) - P(A\cap B)\)
\(P(A^c)=1-P(A)\)
\(P(\emptyset)=0\)
\(P(\Omega)=1\)
Si extraigo dos cartas a la vez de una baraja de 52 naipes, ¿Cuántos resultados posibles se tienen?
Si se extraen cinco cartas a la vez de una baraja de 52 naipes?, ¿Cuántos resultados posibles se tienen?
Si se lanza una moneda 10 veces, ¿Cuántos resultados posibles se tienen?
Nota: La cantidad de elementos de experimentos no se pueden mapear con facilidad, por ende tenemos que usar técnicas de conteo para obtener la cardinalidad (número de elementos) del conjunto \(\Omega\) y del evento de interés.
Teorema 1 Teorema (Principio de la suma)
Sean \(A_1, A_2, \dots, A_k\) conjuntos (eventos) finitos disjuntos (*mutuamente excluyentes) dos a dos, es decir, \(A_i \cap A_j = \emptyset\), con \(i\ne j\) entonces:
\[ \left| A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k \right| = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| + \cdots + \left| A_k \right| \]
Ejemplo:
Carlos desea llegar a la Universidad desde su casa. Para ello, puede optar por dos líneas de autobús, tomar el tren o esperar a su amigo para que lo lleve gratis. Si se elige un medio de transporte al azar, ¿de cuántas maneras deberá pagar por el viaje?
\(B=\{Bus_1, Bus_2\}, \quad T= \{Tren_1\} \quad A=\{Amigo_1\}\)
\(\left| Pagar \right|= \left|B\cup T\right| = \left|B\right|+\left|T\right| = 2+1=3\)
Teorema (Principio del producto)
Sean \(A_1, A_2, \dots, A_k\) conjuntos finitos entonces:
\[ \left| A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_k \right| = \left| A_1 \right| \cdot \left| A_2 \right| \cdot ... \cdot \left| A_k \right| \]
En general, si hay \(n_1\) formas de hacer posibles de realizar una tarea A y \(n_2\) formas posibles de realizar una tarea B, donde ambas se realizan en secuencia, entonces hay \(n_1\cdot n_2\) formas posibles de realizar ambas tareas en orden.
Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior. Ahora suponga que Carlos desea ir a la Universidad (en bus) y luego regresar a casa por cualquiera de los medios de transporte. ¿De cuántas formas puede hacer su trayecto del día?
\(\left| Trayecto \right|= \left|B\times S\right| = \left|B\right|\times \left|S\right| = 2\cdot4=8\)
Suponga que en una clase hay siete personas, cuatro son mujeres y 3 hombres. Si se tiene que escoger a un grupo de 3 personas (para distintas funciones - Presidente, Tesorer, Fiscal).
¿De cuántas formas pueden formarse el grupo si no hay restricciones?
\[7\cdot6\cdot5 = 210\]
Si la primera persona tiene que ser mujer. ¿De cuántas formas puede formarse el grupo?
\[\text{Ejercicio}\]
Si solo una persona del grupo tiene que ser mujer. ¿De cuántas formas puede formarse el grupo?
\[(4_{m}\cdot3_{h}\cdot2_{h}) + (3_{h}\cdot4_m\cdot2_h)+ (3_{h}\cdot2_h\cdot4_m) = 72\]
Si al menos una persona del grupo tiene que ser mujer. ¿De cuántas formas puede formarse el grupo?
\[\text{Ejercicio}\]
Sea una población de N elementos. Una muestra ordenada con reemplazo de tamaño n de esa población es todo arreglo de n elementos de la población en el que cualquier elemento puede aparecer más de una vez.
Entonces el total de muestras ordenadas con reemplazo de tamaño n de una población N elementos es \(N^n\)
La prueba es trivial usando el principio multiplicativo.
Suponga que se extrae una bola tres veces (con reemplazo) de una “bolsa” que contiene 5 bolas de distintos colores {rojo, azul, verde, amarillo, blanco}.
Si nos interesa el orden, la muestra {rojo, azul, azul} es diferente de {azul, azul, rojo} aunque las bolas extraídas hayan sido las mismas.
Entonces tenemos \(5\cdot5\cdot5 = 5^3 = 125\) muestras distintas posibles.
!!Como es con reemplazo, la bola que se extrae vuelve a ser introducida a la bolsa!!
Un arreglo ordenado de r objetos distintos se denomina permutación. El número de formas de ordenar n objetos distintos tomados r a la vez estará designado por el símbolo \({}_nP_r\).
\[nPr = \frac{n!}{(n-r)!} \quad r \leq n\]
\(\text{donde } n! = n\cdot(n-1)....(2)\cdot(1)\quad \text{y } 0!=1\)
*Las palabras no tienen que tener un significado
Cuántas palabras de 7 letras distintas se pueden formar con las letras de la palabra AZULEJO.
Cuántas palabras de 7 letras distintas se puede formar con las letras de la palabra AZULEJO.
Cuántas palabras de 7 letras distintas se pueden formar con las letras de la palabra AZULEJO si se tiene la restricción que las vocales van al inicio.
Cuántas palabras de 5 letras distintas se pueden formar con las letras de la palabra AZULEJO si se tiene la restricción que las consonantes van al inicio (Note que podemos tener palabras con una, dos o tres consonantes al inicio).
Cuántas palabras de 7 letras distintas se pueden formar con las letras de la palabra AZULEJO si se tiene la restricción que las vocales van juntas.
¿Cuántos números telefónicos diferentes de siete dígitos se pueden formar si el primer dígito no puede ser cero?
El número de formas de dividir n objetos distintos en k grupos distintos que contienen \(n_1\), \(n_2\), … ,\(n_k\) objetos, respectivamente, donde cada objeto aparece en exactamente un grupo y \(\sum_{i=1}^{k}n_i = n\), es:
\[\binom{n}{n_1\ n_2\ \cdots\ n_k} = \frac{n!}{n_1! \, n_2! \cdots n_k!}\]
Ejemplo: ¿Cuántas palabras distintas de 3 letras podemos formar con la palabra ALA?
Si usaramos una permutación corriente diríamos que \(3! = 6\) veamos si esto es cierto:
\(A_1LA_2 - A_1A_2L - LA_1A_2\quad -\quad A_2LA_1 - A_2A_1L - LA_2A_1\)
Note que en realidad son 3, pues las “A” al estar repetidas forman las mismas palabras.
\(\frac{3!}{2!\cdot 1!}= \frac{3}{2\cdot1}=3\)
Ejercicios:
Se tienen 9 bolas, donde 4 son azules, 3 rojas y 2 verdes.
De cuántas formas distintas se pueden ordenar las 9 bolas en una hilera.
De cuántas formas distintas pueden ordenarse las 9 bolas en una hilera si las azules deben estar al inicio.
De cuántas formas distintas pueden ordenarse las 9 bolas en una hilera si las rojas deben estar juntas.
¿Cuántas palabras distinas pueden formarse con las letras de la palabra MANZANA?
¿Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra MANZANA si las A deben ir juntas?
El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es el número de subconjuntos, cada uno de tamaño r, que se pueden formar a partir de los n objetos. Este número estará denotado por \(nCr\) o \(\binom{n}{r}\)
El número de subconjuntos desordenados de tamaño r escogidos (sin reemplazo) de n objetos disponibles es:
\[\binom{n}{r} = \frac{nPr}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]
Suponga que hay cinco amigos {Ana, Juan, Carlos, Vale, Mei} en un parque y desean sentarse en una banca, pero solo hay espacio para tres de ellos. Si el orden en que se sientan no importa ¿de cuántas maneras pueden elegir a los amigos que se sentarán?
Note que como el orden no importa la combinación:
\(\{Ana, Juan, Carlos\}\quad \text{es igual a:} \quad \{Ana,Carlos, Juan\}\)
Las combinaciones posibles son:
\[\begin{bmatrix}\{ \text{Ana}, \text{Juan}, \text{Carlos} \} & \{ \text{Ana}, \text{Juan}, \text{Vale} \} \\\{ \text{Ana}, \text{Juan}, \text{Mei} \} & \{ \text{Ana}, \text{Carlos}, \text{Vale} \} \\\{ \text{Ana}, \text{Carlos}, \text{Mei} \} & \{ \text{Ana}, \text{Vale}, \text{Mei} \} \\\{ \text{Juan}, \text{Carlos}, \text{Vale} \} & \{ \text{Juan}, \text{Carlos}, \text{Mei} \} \\\{ \text{Juan}, \text{Vale}, \text{Mei} \} & \{ \text{Carlos}, \text{Vale}, \text{Mei} \}\end{bmatrix}\]
\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = 10\)
Ejemplo:
6 equipos de fútbol van a jugar un torneo:
¿De cuántas maneras se pueden asignar el primer partido?
Si se juegan 3 partidos en la primera ronda. ¿En cuántas formas pueden ser asignados los equipos a los juegos?
Se reparten cinco cartas de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 ases y 2 reyes?
El número de subconjuntos desordenados de tamaño r escogidos (con reemplazo) de n objetos disponibles es:
\[ CR_{n,r} = \binom{n+r-1}{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!} \]
Ejemplo:
En una se cuenta con 8 diferentes sabores de helado.
¿Cuántos conos de 3 bolitas de sabores se pueden hacer (Si los sabores se pueden repetir)?
Note que es razonable pensar que el orden no importa, un helado de \(\{chocolate, fresa, chocolate\} = \{chocolate, chocolate, fresa\}\) para el cliente.
\[ CR_{8,3} = \binom{8+3-1}{3} = \frac{(8+3-1)!}{3!(8-1)!} = \frac{10!}{3!\cdot7!} = 120 \]
| Ordenamientos | Con Reemplazo | Sin Reemplazo |
|---|---|---|
| Con orden | \[ n^r \] | \[ nPr = \frac{n!}{(n-r)!} \] |
| Sin Orden | \[ \binom{n+r-1}{r} \] | \[ nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] |
Permutaciones con elementos repetidos: \(\binom{n}{n_1\ n_2\ \cdots\ n_k} = \frac{n!}{n_1! \, n_2! \cdots n_k!}\)
¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra ESPERANZA?, ¿cuántas empiezan con A y terminan con A?
Tres boletos de lotería se extraen de un total de 50. Si los boletos se distribuirán a cada una de tres personas en el orden que son extraídos 1 PREMIO de 50 000, 2 de 20 000 y 3 de 10 000. ¿De cuántas maneras se puede extraer los boletos?
María desea realizar una fiesta y quiere ofrecer a sus invitados 3 diferentes sabores de helado, cuando llega al supermercado y encuentra que en el refrigerador hay helados de vainilla, chocolate, fresa, napolitano y caramelo. ¿De cuántas formas diferentes María puede escoger los helados?
De un grupo de 12 estudiantes se necesita escoger tres para formar el comité cívico escolar. ¿De cuántas formas diferentes se pueden escoger a los tres estudiantes? Si el comité debe elegir presidente, secretario y vocal, ¿de cuántas formas diferentes se puede hacer la elección?
Si tenemos 12 libros en un estante, ¿de cuántas maneras puede hacerse una selección de cinco libros cuando se tiene que incluir un libro determinado?, ¿y si se debe excluir un determinado libro?
No hay restricciones.
Las vocales deben estar juntas en cualquier orden.
Tanto las vocales como las consonantes deben ir juntas en cualquier orden.
Las cifras que componen un número son 1, 2, 3, 4 y 5 ¿Cuántos números diferentes de cinco cifras, menores de 54 000, pueden formarse sin que se repita ninguna de las cifras?
De un grupo de 12 estudiantes se necesita escoger tres para formar el comité cívico escolar. ¿De cuántas formas diferentes se pueden escoger a los tres estudiantes? Si el comité debe elegir presidente, secretario y vocal, ¿de cuántas formas diferentes se puede hacer la elección?
¿Cuál es el espacio muestral y cuántos puntos muestrales contiene?
Calcule la probabilidad de seleccionar al mejor aspirante y uno de los dos peores.
Calcule la probabilidad de seleccionar al menos uno de los dos mejores aspirantes.
¿Cuál es la probabilidad de que las rojas queden juntas?
¿Cuál es la probabilidad de que las bolas rojas ocupen los extremos?
¿Cuál es la probabilidad de que las 2 T queden juntas?
¿Cuál es la probabilidad de que la O ocupe el primer lugar?
Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
Introducción a la Probabilidad:
Steve Brunton - Gentle Introduction to Probability: Counting Coin Flips and Dice
Steve Brunton - Set Theory in Probability: Sample Spaces and Events
Teoría Combinatoria:
Steve Brunton - Counting Probabilities with Combinatorics and the Factorial
Simple Quant - All of Combinatorics in 30 Minutes
Ejemplos:
Matemóvil - Lista Métodos Combinatorios