## Distribución Normal

**Función de densidad:**\

$$\Large
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \; e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \quad -\infty < x < \infty$$

- **Esperanza:** $\quad E[X] = \mu$

- **Varianza:** $\quad \operatorname{Var}(X) = \sigma^2$

- **Notación:** $\quad X \sim N(\mu, \sigma^2)$

### Diferencia con el caso discreto

En una variable continua la probabilidad en un punto es cero:

$$P(X = x) = 0$$

Aquí no existe una función que calcule "la probabilidad exacta" como lo
hacía `dbinom, dpois, dhyper`. Todo se trabaja con áreas bajo la curva,
es decir, con probabilidades acumuladas:

$$P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a)$$

Además, como el punto no aporta probabilidad, los signos son
intercambiables:

$$P(X \le a) = P(X < a) \qquad \qquad P(X \ge a) = P(X > a)$$

## Distribución Normal

#### En R tenemos las funciones:

1.  dnorm(x, mean, sd): evalúa la densidad $f(x)$ en el punto "x". ***No
    es una probabilidad***, únicamente sirve para graficar la curva.

    ```{r}
    #dnorm(x = valor, mean = media, sd = desviación estándar)
    ```

2.  **pnorm(q, mean, sd):** calcula la probabilidad acumulada
    $P(X \le q)$ hasta el valor **"q"** (el área a la izquierda).

    ```{r}
    #pnorm(q = valor acumulado, mean = media, sd = desviación estándar)
    ```

    - Si $lower.tail=TRUE$ entonces las probabilidades son acumuladas
      hacia abajo $P[X \leq x]$, si se define $lower.tail=FALSE$
      entonces se obtiene el complemento, es decir $P[X > x]$.

3.  **qnorm(p, mean, sd):** calcula el **cuantil** $p$, es decir, el
    valor $x_0$ que acumula una probabilidad deseada. (Es el inverso de
    `pnorm` - No devuelve una probabilidad, sino el valor de X).

    ```{r}
    #qnorm(p = probabilidad deseada, mean = media, sd = desviación estándar)
    ```

4.  **rnorm(n, mean, sd):** Genera un vector de valores aleatorios de
    una distribución normal. Donde $n$ es la cantidad de observaciones a
    generar.

    ```{r}
    #rnorm(n = cantidad de observaciones deseadas, mean = media, sd = desviación estándar)
    ```

**Importante:** si se omiten `mean` y `sd`, R usa por defecto $\mu = 0$
y $\sigma = 1$, es decir, la **normal estándar**.

## Estandarización

Si $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, al restarle la media y dividir entre la
desviación estándar se obtiene la **normal estándar**:

$$\Large Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$$

- El valor $z$ indica **cuántas desviaciones estándar se aleja un dato
  de su media**. Al no tener unidades, permite comparar mediciones en
  escalas distintas.

- La transformación **no cambia las probabilidades**:

$$P(X \le a) = P\left(Z \le \frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$

- El proceso inverso se llama **destandarizar** y recupera la escala
  original:

$$x = \mu + z \cdot \sigma$$

## Cuantiles

Un **cuantil** $p$ es el valor $x_0$ que deja a su izquierda una
probabilidad de $p$:

$$P(X \le x_0) = p$$

- Con `pnorm` uno **entra con un valor** y **obtiene una probabilidad**.

- Con `qnorm` uno **entra con una probabilidad** y **obtiene un valor**.

```{r, echo = T}
# El valor que deja el 90% de los datos por debajo en una N(500, 6^2)
qnorm(p = 0.90, mean = 500, sd = 6)
```

::: callout-tip
Cuando el enunciado dice *"el 10% superior"*, *"el 5% que más dura"* o
*"el puntaje mínimo para ser admitido"*, están pidiendo un **cuantil** y
se usa `qnorm`. Recuerde que R siempre trabaja con el área a la
**izquierda**, así que un 10% superior equivale al cuantil $0.90$.
:::

## **Ejemplo 1:**

La estatura de los estudiantes de una universidad se distribuye normal
con media 170 cm y desviación estándar 8 cm.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante mida más de 180 cm?**

$P(X > 180) = 1 - P(X \le 180)$

Usando **pnorm(q, mean, sd):** *(con* $lower.tail=TRUE$ *- Opción por
defecto)*

```{r, echo = T}
1 - pnorm(q = 180, mean = 170, sd = 8)
```

Usando **pnorm(q, mean, sd):** *(con* $lower.tail=FALSE$)

```{r, echo = T}
pnorm(q = 180, mean = 170, sd = 8, lower.tail = FALSE)
```

Estandarizando primero: $\;z = \frac{180-170}{8} = 1.25$

```{r, echo = T}
1 - pnorm(q = 1.25)  #Estandarizando
```

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante mida menos de 160
cm?**

```{r}

```

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante mida entre 165 y 180
cm?**

$P(165 \le X\le 180)$

```{r}

```

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante mida menos de 160 cm
o más de 185 cm?**

```{r}

```

**E) Estandarice la estatura 186 cm e interprete el valor obtenido.**

```{r}

```

**F) ¿Cuál es la estatura que supera únicamente el 5% de los
estudiantes? (cuantil 0.95)**

```{r}

```

**G) Encuentre las dos estaturas que dejan al 90% central de los
estudiantes.**

```{r}

```

**H) ¿Cuál es la esperanza y la varianza de la estatura?**

```{r}

```

**I) Grafique la función de densidad asociada al ejercicio.**

```{r}
media = 170
desv = 8

curve(dnorm(x, mean = media, sd = desv),
      from = media - 4*desv, to = media + 4*desv,
      main = 'Distribución Normal (media = 170, sd = 8)',
      ylab = 'Densidad',
      xlab = 'Estatura (cm)',
      lwd = 2)
```

## **Ejemplo 2:**

El peso de los paquetes que despacha una empresa de mensajería se
distribuye normal con media 8 kg y desviación estándar 1.5 kg.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete pese más de 10.4 kg?**

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete pese a lo sumo 6 kg?**

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete pese entre 6 y 9 kg
(ambos inclusive)?**

**D) Estandarice el valor 10.4 kg e interprete el resultado.**

**E) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete pese menos de 5 kg o más
de 11 kg?**

**F) La empresa cobra una tarifa extra al 5% de paquetes más pesados. ¿A
partir de cuántos kilogramos se cobra esa tarifa?**

**G) Encuentre el peso que solo es superado por el 75% de los
paquetes.**

**H) Determine la esperanza matemática** $E(X)$ **y la varianza**
$Var(X)$ **del peso de los paquetes.**

**I) Realice la representación gráfica de la función de densidad.**

## Distribución Normal Estándar

Es el caso particular de la normal con $\mu = 0$ y $\sigma = 1$. Se
denota con la letra $Z$:

$$\Large Z \sim N(0,1)$$

- **Esperanza:** $\quad E[Z] = 0 \qquad$ **Varianza:**
  $\quad \operatorname{Var}(Z) = 1$

**Propiedades por simetría respecto al 0:**

- $P(Z \le -z) = P(Z \ge z) = 1 - P(Z \le z)$

- $P(-z \le Z \le z) = 2\,P(Z \le z) - 1$

En R se usan **las mismas funciones**, simplemente omitiendo `mean` y
`sd`:

```{r, echo = T}
pnorm(1.96)          # P(Z <= 1.96)
qnorm(0.975)         # cuantil 0.975
```

## **Ejemplo 3:**

Sea $Z \sim N(0,1)$.

**A) Calcule** $P(Z \le 1.64)$**.**

```{r, echo = T}
pnorm(1.64)
```

**B) Calcule** $P(Z > -0.85)$**.**

```{r}

```

**C) Calcule** $P(-1.96 \le Z \le 1.96)$**.**

```{r}

```

**D) Verifique numéricamente la propiedad de simetría**
$P(Z \le -1.5) = 1 - P(Z \le 1.5)$**.**

```{r}

```

**E) Encuentre el valor** $z_0$ **tal que** $P(Z \le z_0) = 0.99$**.**

```{r}

```

**F) Encuentre el valor** $z_0$ **tal que**
$P(-z_0 \le Z \le z_0) = 0.98$**.**

```{r}

```

**G) Grafique la densidad de la normal estándar junto con la de una**
$N(0, 3^2)$ **y comente las diferencias.**

```{r}
curve(dnorm(x, mean = 0, sd = 1),  #grafica la normal con media 0 y desviación 1
      from = -10, to = 10,
      main = 'Comparación de dos normales',
      ylab = 'Densidad',
      xlab = 'z',
      lwd = 2)

curve(dnorm(x, mean = 0, sd = 3),
      add = TRUE,     # agrega la curva (con media 0 y desviación 3) al gráfico anterior
      col = 'red',
      lwd = 2)

legend('topright',
       legend = c('N(0,1)', 'N(0,9)'),
       col = c('black', 'red'),
       lwd = 2)
```

## Distribución Ji-cuadrado

**Función de densidad:**\

$$\Large f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{k/2}\,\Gamma(k/2)}\; x^{\frac{k}{2}-1} e^{-x/2}, \quad x > 0 \\ \\ 0 \quad \text{en otro caso} \end{cases}$$

- **Esperanza:** $\quad E[X] = k$

- **Varianza:** $\quad \operatorname{Var}(X) = 2k$

- **Notación:** $\quad X \sim \chi^2_{(k)}$

Donde $k$ son los **grados de libertad** y es el **único parámetro** de
la distribución. Note que:

- Solo toma valores positivos ($x > 0$).

- Es asimétrica a la derecha, y esa asimetría disminuye conforme aumenta
  $k$.

- Al no ser simétrica, cada cola debe buscarse por separado cuando se
  calculan cuantiles.

## Distribución Ji-cuadrado

#### En R tenemos las funciones:

1.  **dchisq(x, df):** evalúa la **densidad** $f(x)$ (solo para
    graficar).

    ```{r}
    #dchisq(x = valor, df = grados de libertad)
    ```

2.  **pchisq(q, df):** calcula la probabilidad acumulada $P(X \le q)$.

    ```{r}
    #pchisq(q = valor acumulado, df = grados de libertad)
    ```

3.  **qchisq(p, df):** calcula el **cuantil** $p$ de la distribución.

    ```{r}
    #qchisq(p = probabilidad deseada, df = grados de libertad)
    ```

4.  **rchisq(n, df):** genera $n$ valores aleatorios de la distribución.

    ```{r}
    #rchisq(n = cantidad de observaciones deseadas, df = grados de libertad)
    ```

## **Ejemplo 4:**

Sea $X \sim \chi^2_{(10)}$ una variable con distribución ji-cuadrado con
10 grados de libertad.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable supere el valor
18.31?**

$P(X > 18.31) = 1 - P(X \le 18.31)$

```{r, echo = T}
1 - pchisq(q = 18.31, df = 10)
```

O de manera equivalente:

```{r, echo = T}
pchisq(q = 18.31, df = 10, lower.tail = FALSE)
```

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable sea menor que 4.87?**

```{r}

```

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable esté entre 5 y 18?**

```{r}

```

**D) Encuentre el cuantil 0.95 de la distribución.**

```{r}

```

**E) Encuentre el valor que deja un 2.5% de área en la cola derecha y un
2.5% en la cola izquierda .**

```{r}

```

**F) ¿Cuál es la esperanza y la varianza de esta variable?**

```{r}

```

**G) Grafique la función de densidad.**

```{r}
gl = 10

curve(dchisq(x, df = gl),
      from = 0, to = 40,
      main = 'Distribución Ji-cuadrado (k = 10)',
      ylab = 'Densidad',
      xlab = 'x',
      lwd = 2)
```

**H) Grafique en un mismo gráfico las densidades para** $k = 2$**,**
$k = 5$**,** $k = 10$ **y** $k = 20$**. ¿Qué le ocurre a la forma de la
curva conforme aumentan los grados de libertad?**

```{r}
curve(dchisq(x, df = 2), from = 0.1, to = 40, ylim = c(0, 0.25),
      main = 'Ji-cuadrado con distintos grados de libertad',
      ylab = 'Densidad', xlab = 'x', lwd = 2)

curve(dchisq(x, df = 5),  add = TRUE, col = 'red',   lwd = 2)  #agrega otra curva
curve(dchisq(x, df = 10), add = TRUE, col = 'blue',  lwd = 2)  #agrega otra curva
curve(dchisq(x, df = 20), add = TRUE, col = 'green', lwd = 2)  #agrega otra curva

legend('topright',
       legend = c('k = 2', 'k = 5', 'k = 10', 'k = 20'),
       col = c('black', 'red', 'blue', 'green'),
       lwd = 2)
```

## Distribución t-Student

**Función de densidad:**\

$$\Large f(t) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\sqrt{k\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}}, \quad -\infty < t < \infty$$

- **Esperanza:** $\quad E[T] = 0, \quad \text{si } k > 1$

- **Varianza:**
  $\quad \operatorname{Var}(T) = \dfrac{k}{k-2}, \quad \text{si } k > 2$

- **Notación:** $\quad T \sim t_{(k)}$

Note que:

- Es simétrica alrededor de 0, igual que la normal estándar.

- Tiene colas más pesadas: los valores extremos son más probables que en
  la $N(0,1)$.

- Su varianza es siempre mayor que 1. Conforme $k$ crece, la varianza se
  acerca a 1 y la $t$ se parece cada vez más a la $N(0,1)$.

## Distribución t-Student

#### En R tenemos las funciones:

1.  **dt(x, df):** evalúa la **densidad** $f(t)$ (solo para graficar).

    ```{r}
    #dt(x = valor, df = grados de libertad)
    ```

2.  **pt(q, df):** calcula la probabilidad acumulada $P(T \le q)$.

    ```{r}
    #pt(q = valor acumulado, df = grados de libertad)
    ```

3.  **qt(p, df):** calcula el **cuantil** $p$ de la distribución.

    ```{r}
    #qt(p = probabilidad deseada, df = grados de libertad)
    ```

4.  **rt(n, df):** genera $n$ valores aleatorios de la distribución.

    ```{r}
    #rt(n = cantidad de observaciones deseadas, df = grados de libertad)
    ```

## **Ejemplo 5:**

Sea $T \sim t_{(15)}$ una variable con distribución t-Student con 15
grados de libertad.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable sea mayor que 1.753?**

```{r, echo = T}
1 - pt(q = 1.753, df = 15)
```

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable sea menor que -2.131?**

```{r}

```

**C) Verifique la simetría comparando** $P(T \le -1.753)$ **con**
$P(T \ge 1.753)$**.**

```{r}

```

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable esté entre -2 y 2?**

```{r}

```

**E) Encuentre el valor** $t_0$ **tal que**
$P(-t_0 \le T \le t_0) = 0.95$**. (Recuerde que por simetría el 5%
restante se reparte en 2.5% por cola).**

```{r}

```

**F) Compare el cuantil anterior con el cuantil 0.975 de una**
$t_{(30)}$ **y con el de una** $N(0,1)$**. ¿Qué observa?**

```{r}

```

**G) ¿Cuál es la esperanza y la varianza de esta variable?**

```{r}

```

**H) Grafique la densidad de la t-Student con 1, 5 y 30 grados de
libertad, junto con la normal estándar.**

```{r}
curve(dt(x, df = 1), from = -5, to = 5, ylim = c(0, 0.42),
      main = 't-Student vs Normal estándar',
      ylab = 'Densidad', xlab = 't', lwd = 2)

curve(dt(x, df = 5),  add = TRUE, col = 'red',  lwd = 2)
curve(dt(x, df = 30), add = TRUE, col = 'blue', lwd = 2)
curve(dnorm(x), add = TRUE, col = 'green', lwd = 2, lty = 2)

legend('topright',
       legend = c('t (k = 1)', 't (k = 5)', 't (k = 30)', 'N(0,1)'),
       col = c('black', 'red', 'blue', 'green'),
       lty = c(1, 1, 1, 2),
       lwd = 2)
```

## Relaciones entre las distribuciones

Estas tres distribuciones **no son independientes entre sí**: la
ji-cuadrado y la t-Student se construyen a partir de la normal.

**1. De la normal a la normal estándar (estandarización):**

$$X \sim N(\mu, \sigma^2) \quad \Longrightarrow \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$$

**2. De la normal estándar a la ji-cuadrado:**

$$Z \sim N(0,1) \quad \Longrightarrow \quad Z^2 \sim \chi^2_{(1)}$$

$$Z_1, Z_2, \dots, Z_k \;\text{independientes } N(0,1) \quad \Longrightarrow \quad Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2 \sim \chi^2_{(k)}$$

**3. Suma de ji-cuadradas independientes:**

$$V_1 \sim \chi^2_{(k_1)}, \quad V_2 \sim \chi^2_{(k_2)} \quad \Longrightarrow \quad V_1 + V_2 \sim \chi^2_{(k_1 + k_2)}$$

**4. De la normal y la ji-cuadrado a la t-Student:**

$$Z \sim N(0,1), \quad V \sim \chi^2_{(k)} \;\text{ independientes} \quad \Longrightarrow \quad T = \frac{Z}{\sqrt{V/k}} \sim t_{(k)}$$

**5. Convergencia de la t a la normal:**

$$T \sim t_{(k)} \quad \longrightarrow \quad N(0,1) \quad \text{cuando } k \text{ crece}$$

**6. Cocientes de Varianzas en poblaciones normales (Muestral /
Poblacional).**

Si $X_i \stackrel{\text{iid}}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$,

$$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \quad \text{donde n es el tamaño de muestra}.$$

## **Ejemplo 6: Simulación de la relación normal → ji-cuadrado**

Vamos a **comprobar con simulación** la relación
$Z^2 \sim \chi^2_{(1)}$.

**A) Genere 10000 valores de una normal estándar y elévelos al
cuadrado.**

```{r, echo = T}
set.seed(2024)   # para que todos obtengamos el mismo resultado

z <- rnorm(n = 10000, mean = 0, sd = 1)   # 10000 normales estándar
z2 <- z^2                                 # cada una elevada al cuadrado

head(z)     # primeros valores de z
head(z2)    # primeros valores de z al cuadrado
```

**B) Observe que los valores al cuadrado son todos positivos. Calcule su
promedio y su varianza, y compárelos con** $E(X) = k$ **y**
$Var(X) = 2k$ **para** $k = 1$**.**

```{r, echo = T}
mean(z2)   # debería acercarse a k = 1
var(z2)    # debería acercarse a 2k = 2
```

**C) Grafique el histograma de los valores al cuadrado y superponga la
densidad teórica de una** $\chi^2_{(1)}$**.**

```{r, echo = T}
hist(z2,
     breaks = 100,
     freq = FALSE,        # para que el eje Y sea densidad y no frecuencia
     xlim = c(0, 8),
     main = 'Simulación: Z al cuadrado vs Ji-cuadrado(1)',
     ylab = 'Densidad',
     xlab = 'Z al cuadrado',
     col = 'gray90')

curve(dchisq(x, df = 1),   # densidad teórica
      add = TRUE,
      col = 'red',
      lwd = 2)
```

**D) Ahora sume 5 normales estándar al cuadrado y compare con una**
$\chi^2_{(5)}$**.**

```{r, echo = T}
set.seed(2024)

z1 <- rnorm(10000)
z2 <- rnorm(10000)
z3 <- rnorm(10000)
z4 <- rnorm(10000)
z5 <- rnorm(10000)

suma <- z1^2 + z2^2 + z3^2 + z4^2 + z5^2   # suma de 5 cuadrados

mean(suma)   # debería acercarse a k = 5
var(suma)    # debería acercarse a 2k = 10

hist(suma,
     breaks = 60,
     freq = FALSE,
     main = 'Simulación: suma de 5 normales al cuadrado vs Ji-cuadrado(5)',
     ylab = 'Densidad',
     xlab = 'Suma de cuadrados',
     col = 'gray90')

curve(dchisq(x, df = 5),
      add = TRUE,
      col = 'red',
      lwd = 2)
```

**E) Repita el procedimiento del inciso D) pero sumando 10 normales
estándar al cuadrado y compare contra una** $\chi^2_{(10)}$**. ¿Qué
ocurre con la asimetría del histograma?**

```{r}

```

**F) Usando los objetos ya creados, construya la variable**
$T = \dfrac{Z_1}{\sqrt{W/4}}$ **donde** $W$ **es una chi cuadrado con 5
grados de libertad, y compruebe gráficamente que sigue una t-Student.
(Complete el código).**

```{r}
# set.seed(2024)
# z_num <- rnorm(10000)                     # la normal estándar del numerador
# w <- rnorm(10000)^2 + rnorm(10000)^2 + rnorm(10000)^2 + rnorm(10000)^2 + rnorm(10000)^2
# t_sim <- z_num / sqrt(w/5)
#
# hist(t_sim, breaks = 200, freq = FALSE, xlim = c(-6, 6), col = 'gray90',
#      main = 'Simulación de la t-Student', xlab = 't')
# curve(dt(x, df = 5), add = TRUE, col = 'red', lwd = 2)
```

## **Ejemplo 7:**

Resuelva los siguientes ejercicios utilizando lo visto en el
laboratorio.

**A) Las calificaciones de un examen de admisión se distribuyen normal
con media 620 puntos y desviación estándar 45 puntos. ¿Cuál es la
probabilidad de que un postulante obtenga menos de 550 puntos?**

**B) La universidad admite únicamente al 15% con mejor puntaje. ¿Cuál es
el puntaje mínimo de admisión?**

**C) Un postulante obtuvo un puntaje estandarizado de** $z = -1.2$**.
¿Cuál fue su calificación original?**

**D) María obtuvo 78 en un examen con distribución** $N(70, 5^2)$ **y
Luis obtuvo 85 en otro examen con distribución** $N(80, 10^2)$**.
Estandarice ambos puntajes y determine quién tuvo el mejor desempeño
relativo dentro de su propio grupo.**

**E) Sea** $X \sim \chi^2_{(12)}$**. Calcule** $P(X > 21.03)$ **y
encuentre el cuantil 0.99 de la distribución.**

**F) Sean** $V_1 \sim \chi^2_{(7)}$ **y** $V_2 \sim \chi^2_{(13)}$
**independientes. ¿Qué distribución sigue** $V_1 + V_2$**? Calcule**
$P(V_1 + V_2 > 31.41)$**.**

**G) Sean** $Z_1, \dots, Z_8$ **normales estándar independientes. ¿Qué
distribución sigue** $W = Z_1^2 + \cdots + Z_8^2$**? Calcule**
$P(W > 15.51)$ **y determine** $E(W)$ **y** $Var(W)$**.**

**H) Si** $Z \sim N(0,1)$ **y** $W$ **es la variable del inciso anterior
(independiente de** $Z$**), ¿qué distribución sigue**
$T = \dfrac{Z}{\sqrt{W/8}}$**? Calcule** $P(T > 2.306)$**.**

**I) Sea** $T \sim t_{(9)}$**. Encuentre el valor** $t_0$ **tal que**
$P(-t_0 \le T \le t_0) = 0.99$ **y compárelo con el cuantil equivalente
de la normal estándar. Explique por qué son diferentes.**

**J) Simule 10000 valores de una** $t_{(3)}$ **con la función `rt()` y
otros 10000 de una** $N(0,1)$ **con `rnorm()`. Compare ambos histogramas
y comente qué observa en las colas.**

```{r}

```

**K) El contenido de unas botellas se distribuye normal con varianza
poblacional** $\sigma^2 = 9$ **ml². Se toma una muestra aleatoria de 16
botellas. ¿Qué distribución sigue** $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$**?
Determine sus grados de libertad, su esperanza y su varianza.**

```{r}

```

**L) Con la información del inciso anterior, calcule la probabilidad de
que la varianza muestral supere los 15 ml².**

```{r}

```

**M) Con la misma información, encuentre los dos valores de** $S^2$
**que dejan un 2.5% de área en cada cola. (Sugerencia: halle primero los
cuantiles del estadístico y luego devuélvalos a la escala de**
$S^2$**).**

```{r}

```

**N) Se toman dos muestras independientes, una de tamaño 10 y otra de
tamaño 13, ambas de poblaciones normales con la misma varianza**
$\sigma^2$**. ¿Qué distribución sigue la suma de los dos estadísticos**
$\dfrac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma^2} + \dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}$**?
Calcule la probabilidad de que esa suma supere 32.67.**

```{r}

```