## Distribución Poisson

**Función de probabilidad:**\

$$\Large
P(X = x) =  \begin{cases} \dfrac{e^{-\lambda}\,\lambda^{x}}{x!}, \quad x = 0,1,2,3,\dots  \\ \\
0 \quad \text{en otro caso}
\end{cases}$$

- **Esperanza:**$\quad E[X] = \lambda$

- **Varianza:** $\quad \operatorname{Var}(X) = \lambda$

- **Notación:** $\quad X \sim Poisson(\lambda)$

Modela el **número de ocurrencias de un evento** en un intervalo fijo de
tiempo, espacio, área o volumen, cuando esas ocurrencias son
independientes entre sí y suceden a una tasa promedio constante
$\lambda$.

::: callout-note
A diferencia de la binomial, aquí **no hay un número fijo de ensayos**
$n$. La variable puede tomar cualquier valor entero
$x = 0, 1, 2, 3, \dots$ sin un límite superior. Note además que la
esperanza y la varianza son **iguales**.
:::

## Cambio de magnitud del parámetro $\lambda$

El parámetro $\lambda$ es una **tasa promedio por unidad** (por día, por
hora, por metro, por página...). Si se cambia el tamaño del intervalo,
el parámetro debe cambiar en la misma proporción:

$$\Large \lambda^{*} = \lambda \cdot t$$

donde $t$ es la cantidad de unidades del nuevo intervalo.

**Ejemplos:**

| Tasa conocida | Se pregunta por | Nuevo $\lambda^*$ |
|------------------------|------------------------|------------------------|
| 2 accidentes por **día** | una **semana** | $2 \times 7 = 14$ |
| 2 accidentes por **día** | **12 horas** | $2 \times 0.5 = 1$ |
| 5 llamadas por **hora** | **20 minutos** | $5 \times \frac{20}{60} \approx 1.667$ |
| 3 fallas por **100 metros** | **250 metros** | $3 \times 2.5 = 7.5$ |

::: callout-important
**NOTA:** el $\lambda$ que se usa en R debe estar expresado en **la
misma unidad de tiempo (o espacio) en la que se está contando la
variable de la pregunta**. Si la pregunta cambia de unidad, hay que
recalcular $\lambda$ *antes* de usar `dpois` o `ppois`.
:::

## Distribución Poisson

#### En R tenemos las funciones:

1.  **dpois(x, lambda):** calcula la probabilidad exacta $P(X=x)$ que la
    variable tome el valor **"x"**.

    ```{r}
    #dpois(x = valor exacto, 
    #      lambda = tasa promedio del intervalo)
    ```

2.  **ppois(q, lambda):** calcula la probabilidad acumulada $P(X \le q)$
    hasta el valor **"q"**.

    ```{r}
    #ppois(q = valor acumulado, 
    #      lambda = tasa promedio del intervalo)
    ```

    - Si $lower.tail=TRUE$ entonces las probabilidades son acumuladas
      hacia abajo $P[X \leq x]$, si se define $lower.tail=FALSE$
      entonces se obtiene el complemento, es decir $P[X > x]$.

3.  **qpois(p, lambda):** calcula el número de ocurrencias necesario
    para alcanzar una probabilidad acumulada deseada. (Es como el
    inverso de ppois - No devuelve una probabilidad, sino el valor de
    X). ***Básicamente calcula el cuantil p de la variable aleatoria.***

    ```{r}
    #qpois(p = probabilidad deseada, 
    #      lambda = tasa promedio del intervalo)
    ```

4.  **rpois(n, lambda):** Genera un vector de valores aleatorios de una
    distribución Poisson. Donde $n$ es la cantidad de observaciones a
    generar.

    ```{r}
    #rpois(n = cantidad de observaciones deseadas, 
    #      lambda = tasa promedio del intervalo)
    ```

## ¿Cómo interpretar el cuantil en una variable discreta?

Como la variable solo toma valores enteros, casi nunca existe un valor
que acumule **exactamente** la probabilidad pedida. Por eso `qpois`
devuelve:

> ***El valor entero más pequeño*** $x_0$ tal que $P(X \le x_0) \ge p$.

```{r, echo = T}
qpois(p = 0.95, lambda = 2)      # cuantil 0.95 de una Poisson(2)

ppois(q = 3, lambda = 2)         # acumula menos de 0.95
ppois(q = 4, lambda = 2)         # ya supera 0.95, por eso el cuantil es 4
```

::: callout-tip
Cuando el enunciado dice *"¿cuántos equipos debo tener para atender la
demanda el 95% de los días?"* o *"¿cuál es el número máximo de fallas
que no se supera en el 90% de los casos?"*, están pidiendo un
**cuantil** y se usa `qpois`.
:::

## **Ejemplo 1:**

En una ruta nacional ocurren en promedio **2 accidentes por día**.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día ocurran exactamente 3
accidentes?**

$P(X = 3)$ con $\lambda = 2$

Usando **dpois(x, lambda):**

```{r, echo = T}
dpois(x = 3, lambda = 2)
```

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día ocurran 3 accidentes o
más?**

$P(X \ge 3) = 1- \left[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\right]$

Usando **dpois(x, lambda):**

```{r, echo = T}
1-(dpois(x=0, lambda=2) + dpois(x=1, lambda=2) + dpois(x=2, lambda=2))
```

Usando **ppois(q, lambda):** *(con* $lower.tail=TRUE$ *- Opción por
defecto)*

```{r, echo = T}
1-(ppois(q = 2, lambda = 2))
```

Usando **ppois(q, lambda):** *(con* $lower.tail=FALSE$)

```{r, echo = T}
ppois(q = 2, lambda = 2, lower.tail = FALSE)
```

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día ocurran a lo sumo 4
accidentes?**

```{r}

```

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día NO ocurra ningún
accidente?**

```{r}

```

**E) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día ocurran entre 2 y 5
accidentes (ambos inclusive)?**

$P(2 \le X\le 5)$

```{r}

```

**F) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día ocurran más de 1
accidente, pero menos de 5?**

```{r}

```

**G) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día ocurran menos de 2
accidentes o más de 5 accidentes?**

```{r}

```

**H) ¿Cuál es la esperanza y la varianza del número de accidentes por
día?**

```{r}

```

**I) Grafique la distribución de probabilidad asociada al ejercicio.**

```{r}
lambda_día = 2

plot(0:10, dpois(0:10, lambda = lambda_día), type='h',
     main='Distribución Poisson (lambda = 2 por día)',
     ylab='Probabilidad',
     xlab='Accidentes por día',
     lwd=2)
```

## **Ejemplo 1 (continuación): cambio de magnitud**

Seguimos con la misma ruta, donde ocurren en promedio **2 accidentes por
día**.

**J) ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana ocurran exactamente
10 accidentes?**

Primero se ajusta el parámetro a la nueva unidad:
$\lambda^{*} = 2 \times 7 = 14$ accidentes por semana.

```{r, echo = T}
lambda_semana <- 2 * 7      # tasa diaria por 7 días
lambda_semana

dpois(x = 10, lambda = lambda_semana)
```

**K) ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana ocurran a lo sumo 12
accidentes?**

```{r}

```

**L) ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana ocurran más de 20
accidentes?**

```{r}

```

**M) ¿Cuál es la probabilidad de que en un turno de 12 horas no ocurra
ningún accidente?** *(Recuerde que 12 horas es medio día).*

```{r, echo = T}
lambda_12h <- 2 * 0.5       # tasa diaria por 0.5 días
lambda_12h

dpois(x = 0, lambda = lambda_12h)
```

**N) ¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de 6 horas ocurra al
menos 1 accidente?**

```{r}

```

**O) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes de 30 días ocurran entre
55 y 65 accidentes (ambos inclusive)?**

```{r}

```

**P) Calcule la esperanza y la varianza del número de accidentes en una
semana y en un mes de 30 días. ¿Se mantiene la igualdad**
$E(X) = Var(X)$**?**

```{r}

```

## **Ejemplo 1 (continuación): cuantiles**

**Q) ¿Cuál es el número de accidentes diarios que NO se supera en el 95%
de los días?**

Se busca el valor $x_0$ tal que $P(X \le x_0) \ge 0.95$, es decir, el
**cuantil 0.95**.

```{r, echo = T}
qpois(p = 0.95, lambda = 2)
```

Verificación:

```{r, echo = T}
ppois(q = 5, lambda = 2)
```

**R) ¿Cuál es el número de accidentes semanales que no se supera en el
90% de las semanas?**

```{r}

```

**S) La Cruz Roja quiere tener ambulancias suficientes para cubrir la
demanda diaria en el 99% de los días. ¿Cuántos accidentes diarios debe
estar en capacidad de atender?**

```{r}

```

**T) Encuentre el cuantil 0.50 (la mediana) del número de accidentes
diarios y del número de accidentes semanales. Interprete ambos
resultados.**

```{r}

```

**U) Grafique la distribución del número de accidentes por semana y
compárela con la del número de accidentes por día del inciso I). ¿Qué le
ocurre a la forma de la distribución cuando** $\lambda$ **crece?**

```{r}
lambda_semana = 14

plot(0:30, dpois(0:30, lambda = lambda_semana), type='h',
     main='Distribución Poisson (lambda = 14 por semana)',
     ylab='Probabilidad',
     xlab='Accidentes por semana',
     lwd=2)
```

**V) Simule 1000 semanas de accidentes con `rpois()` y compare el
promedio y la varianza simulados contra los valores teóricos.**

```{r}
set.seed(2024)

simulacion <- rpois(n = 1000, lambda = 14)

mean(simulacion)
var(simulacion)
```

## **Ejemplo 2:**

En un centro de llamadas se reciben en promedio **5 llamadas por hora**
durante la jornada de la tarde.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban exactamente
7 llamadas?**

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban a lo sumo 3
llamadas?**

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban al menos 8
llamadas?**

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban entre 4 y 9
llamadas (ambos inclusive)?**

**E) ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban más de 2
llamadas, pero menos de 6?**

**F) Determine la esperanza matemática** $E(X)$ **y la varianza**
$Var(X)$ **del número de llamadas por hora.**

**G) ¿Cuál es la probabilidad de que en un turno completo de 8 horas se
reciban exactamente 45 llamadas?**

**H) ¿Cuál es la probabilidad de que en 20 minutos no se reciba ninguna
llamada?**

**I) ¿Cuál es la probabilidad de que en media hora se reciba al menos 1
llamada?**

**J) ¿Cuál es la probabilidad de que en un turno de 8 horas se reciban
menos de 30 llamadas o más de 50 llamadas?**

**K) ¿Cuántas llamadas por hora no se superan en el 90% de las horas?**

**L) El supervisor quiere asignar personal suficiente para atender la
demanda de un turno de 8 horas en el 95% de los casos. ¿Para cuántas
llamadas debe planificar?**

**M) Encuentre el cuantil 0.25 y el cuantil 0.75 del número de llamadas
por hora. Interprete.**

**N) Realice la representación gráfica de la función de probabilidad
para una hora y para un turno de 8 horas.**

## **Ejemplo 3:**

Una empresa de fibra óptica reporta en promedio **3 fallas por cada 100
metros** de cable instalado.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 2 fallas en 100
metros de cable?**

**B) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo sumo 1 falla en 100
metros?**

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que un tramo de 250 metros presente
exactamente 5 fallas?**

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que un tramo de 50 metros no presente
ninguna falla?**

**E) ¿Cuál es la probabilidad de que en 1 kilómetro de cable se
encuentren más de 35 fallas?**

**F) ¿Cuál es la probabilidad de que en 300 metros se encuentren entre 6
y 12 fallas (ambos inclusive)?**

**G) Calcule la esperanza y la varianza del número de fallas en 250
metros.**

**H) ¿Cuál es el número de fallas por kilómetro que no se supera en el
99% de las instalaciones?**

**I) Un inspector rechaza el tramo si encuentra más fallas que el
cuantil 0.90. ¿Cuál es ese número de fallas para un tramo de 500
metros?**

**J) Grafique la función de probabilidad para un tramo de 100 metros y
para uno de 500 metros en gráficos separados. Comente las diferencias.**

```{r}

```