## Distribución Hipergeométrica

**Función de probabilidad:**\

$$ \Large P(X = x) =  \begin{cases} \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad \small{\text{si: } \max(0, n-[N-K]) \le x \le \min(n, K)}  \\ \\ 0 \quad \text{en otro caso} \end{cases} $$

Donde:

- $N$: tamaño de la población

- $K$: número de elementos "éxito" en la población

- $n$: tamaño de la muestra (extraída **sin reemplazo**)

- $x$: número de éxitos observados en la muestra

- **Esperanza:**$\quad E[X] = n\dfrac{K}{N}$

- **Varianza:**
  $\quad \operatorname{Var}(X) = n\dfrac{K}{N}\left(1-\dfrac{K}{N}\right)\left(\dfrac{N-n}{N-1}\right)$

> El factor $\dfrac{N-n}{N-1}$ se llama **factor de corrección por
> población finita**. Es lo que distingue a la varianza hipergeométrica
> de la varianza binomial, ya que al no haber reemplazo las extracciones
> no son independientes entre sí.

## Distribución Hipergeométrica

#### En R tenemos las funciones:

1.  **dhyper(x, m, n, k):** calcula la probabilidad exacta $P(X=x)$ que
    la variable tome el valor **"x"**.

    ```{r}
    #dhyper(x = valor exacto, 
    #       m = éxitos en la población (K),
    #       n = fracasos en la población (N-K),
    #       k = tamaño de la muestra)
    ```

2.  **phyper(q, m, n, k):** calcula la probabilidad acumulada
    $P(X \le q)$ hasta el valor **"q"**.

    ```{r}
    #phyper(q = valor acumulado, 
    #       m = éxitos en la población (K), 
    #       n = fracasos en la población (N-K), 
    #       k = tamaño de la muestra)
    ```

3.  **qhyper(p, m, n, k):** calcula el número de éxitos para alcanzar
    una cierta probabilidad deseada. (Es como el inverso de phyper - No
    devuelve una probabilidad, sino el valor de X). ***Básicamente
    calcula el cuantil p de la variable aleatoria.***

    ```{r}
    #qhyper(p = probabilidad deseada, 
    #       m = éxitos en la población (K), 
    #       n = fracasos en la población (N-K),
    #       k = tamaño de la muestra)
    ```

    - Si $lower.tail=TRUE$ entonces las probabilidades son acumuladas
      hacia abajo $P[X \leq x]$, si se define $lower.tail=FALSE$
      entonces se obtiene el complemento, es decir $P[X > x]$.

4.  **rhyper(nn, m, n, k):** Genera un vector de valores aleatorios de
    una distribución hipergeométrica. Donde $nn$ es la cantidad de
    observaciones a generar.

    ```{r}
    #rhyper(nn = cantidad de observaciones deseadas, 
    #       m = éxitos en la población (K),
    #       n = fracasos en la población (N-K),
    #       k = tamaño de la muestra)
    ```

    - Nota importante: a diferencia de `dbinom`/`pbinom`/`qbinom`, en
      las funciones `*hyper` de R **no** se usan los parámetros `size`
      ni `prob`. En su lugar se describen los dos grupos que componen la
      población (`m` y `n`) y el tamaño de la muestra (`k`).

## **Ejemplo 1:**

En un lote de 200 piezas producidas por una fábrica se sabe que 20 son
defectuosas. Un inspector selecciona una muestra aleatoria de 50 piezas
**sin reemplazo** para inspeccionar.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 3 piezas defectuosas o más?**

$P(X \ge 3) = 1- \left[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\right]$

Usando **dhyper(x, m, n, k):**

```{r, echo = T}
1-(dhyper(x=0, m=20, n=180, k=50)+ dhyper(x=1, m=20, n=180, k=50)+ dhyper(x=2, m=20, n=180, k=50))
```

Usando **phyper(q, m, n, k):** *(con* $lower.tail=TRUE$ *- Opción por
defecto)*

```{r, echo = T}
1-(phyper(q=2, m=20, n=180, k=50))
```

Usando **phyper(q, m, n, k):** *(con* $lower.tail=FALSE$)

```{r}
phyper(q=2, m=20, n=180, k=50, lower.tail = FALSE)
```

**B) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo sumo 2 piezas
defectuosas?**

```{r}

```

**C) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos 5 piezas
defectuosas?**

```{r}

```

**D) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar entre 2 y 4 piezas
defectuosas (ambas inclusive)?**

$P(2 \le X\le 4)$

```{r}

```

**E) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 o más piezas defectuosas,
pero menos de 7?**

```{r}

```

**F) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 1 pieza defectuosa,
pero menos de 5?**

```{r}

```

**G) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de 2 piezas defectuosas
o más de 5 piezas?**

```{r}

```

**H) ¿Cuál es la esperanza y varianza de piezas defectuosas en la
muestra?**

```{r}

```

**I) Grafique la distribución de probabilidad asociada al ejercicio.**

```{r}
N = 200
K = 20
n = 50

x_vals = max(0, n-(N-K)):min(n,K)

plot(x_vals, dhyper(x_vals, m=K, n=N-K, k=n), type='h', main='Distribución hipergeométrica (N=200, K=20, n=50)',
     ylab='Probabilidad',
     xlab ='Piezas Defectuosas',
     lwd=2)
```

## **Ejemplo 2:**

Un almacén tiene un inventario de 40 productos, de los cuales 10
presentan un defecto de fábrica. Se seleccionan aleatoriamente (sin
reemplazo) 12 productos para un control de calidad.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren al menos 4 productos
defectuosos entre los seleccionados?**

**B) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo sumo 3 productos
defectuosos?**

**C) Determine la esperanza matemática** $E(X)$ **y la varianza**
$Var(X)$ **del número de productos NO defectuosos en la selección de 12
productos.**

**D) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 2 productos
defectuosos, pero menos de 6?**

**E) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 5 productos
defectuosos?**

**F) Realice la representación gráfica de la función de probabilidad
asociada a este experimento de 12 productos seleccionados.**

**G) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar entre 3 y 7 productos
defectuosos (ambos inclusive)?**

**H) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de 3 productos
defectuosos o más de 6 productos defectuosos?**

**I) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 o más productos
defectuosos, pero como máximo 5?**