## Distribución Binomial

**Función de probabilidad:**\

$$\Large
P(X = x) =  \begin{cases} \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0,1,\dots,n  \\ \\
0 \quad \text{en otro caso}
\end{cases}$$

- **Esperanza:**$\quad E[X] = np$

- **Varianza:** $\quad \operatorname{Var}(X) = np(1-p)$

## Distribución Binomial

#### En R tenemos las funciones:

1.  **dbinom(x, size, prob):** calcula la probabilidad exacta $P(X=x)$
    que la variable tome el valor **"x"**.

    ```{r}
    #dbinom(x=valor exacto, size = n, prob = probabilidad de éxito)
    ```

2.  **pbinom(q, size, prob):** calcula la probabilidad acumulada
    $P(X \le q)$ hasta el valor **"q"**.

    ```{r}
    #dbinom(x=valor acumulado, size = n, prob = probabilidad de éxito)
    ```

3.  **qbinom(p, size, prob):** calcula el número de éxitos para alcanzar
    una cierta deseada. (Es como el inverso de pbinom - No devuelve una
    probabilidad, sino el valor de X). ***Básicamente calcula el cuantil
    p de la variable aleatoria.***

    ```{r}
    #qbinom(p = probabilidad deseada, size = n, prob = probabilidad de éxito)
    ```

    - Si $lower.tail=TRUE$ entonces las probabilidades son acumuladas
      hacia abajo $P[X \leq x]$, si se define $lower.tail=FALSE$
      entonces se obtiene el complemento, es decir $P[X > x]$.

4.  **rbinom(n, size, prob):** Genera un vector de valores aleatorios de
    una distribución binomial. Donde $n$ es la cantidad de observaciones
    a generar.

    ```{r}
    #rbinom(n = cantidad de observaciones deseadas, size = n, prob = probabildiad de éxito)
    ```

## **Ejemplo 1:**

En una fábrica una máquina produce 3 pieza defectuosa por cada 100. Si
un inspector revisa un lote de la semana anterior con 50 piezas.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 3 piezas defectuosas o más?**

$P(X \ge 3) = 1- \left[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\right]$

Usando **dbinom(x, size, p):**

```{r, echo = T}
1-(dbinom(x=0, size=50, p=0.03)+ dbinom(x=1, size=50, p=0.03)+ dbinom(x=2, size=50, p=0.03))
```

Usando **pbinom(q, size, p):** *(con* $lower.tail=TRUE$ *- Opción por
defecto)*

```{r, echo = T}
1-(pbinom(q=2, size=50, p=0.03))
```

Usando **pbinom(q, size, p):** *(con* $lower.tail=FALSE$)

```{r}
pbinom(q=2, size=50, p=0.03, lower.tail = FALSE)
```

**B) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo sumo 2 piezas
defectuosas o más?**

```{r}

```

**C) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos 5 piezas defectuosas
o más?**

```{r}

```

**D) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar entre 2 y 4 piezas
defectuosas (ambas inclusive)?**

$P(2 \le X\le 4)$

```{r}

```

**E) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 o más piezas defectuosas,
pero menos de 7?**

```{r}

```

**F) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 1 pieza defectuosas,
pero menos de 5?**

```{r}

```

**G) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de 2 piezas defectuosas
o más de 5 piezas?**

```{r}

```

**H) ¿Cuál es la esperanza y varianza de piezas defectuosas?**

```{r}

```

**I) Grafique la distribución de probabilidad asociada al ejercicio.**

```{r}
n = 50
prob_éxito = 3/100

plot(0:n, dbinom(0:n, size=n, prob= prob_éxito),type='h', main='Distribución binomial (n=50, p=0.03)',
     ylab='Probabilidad',
     xlab ='Piezas Defectuosas',
     lwd=2)
```

## **Ejemplo 2:**

Un análisis comercial de Amazon revela que el 25% de los productos
agregados al carrito de compras terminan siendo comprados. Si un cliente
tiene 15 artículos distintos en su carrito

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente realice la compra de al
menos 4 artículos?**

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente compre a lo sumo 3
artículos?**

**C) Determine la esperanza matemática** $E(X)$ **y la varianza**
$Var(X)$ **del número de artículos no comprados en la selección de 15
productos.**

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que termine comprando más de 2
artículos, pero menos de 6?**

**E) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente concrete la compra de
exactamente 5 artículos?**

**F) Realice la representación gráfica de la función de probabilidad
asociada a este experimento de 15 artículos.**

**G) ¿Cuál es la probabilidad de que compre entre 3 y 7 artículos (ambos
inclusive)?**

**H) ¿Cuál es la probabilidad de que realice la compra de menos de 3
artículos o más de 6 artículos?**

**I) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente termine comprando 2 o
más artículos, pero como máximo 5?**