## Distribución Binomial Negativa

Modela el **número de fracasos que ocurren antes de obtener el**
$r$-ésimo éxito en una sucesión de ensayos de Bernoulli independientes,
donde la probabilidad de éxito $p$ se mantiene constante.

**Función de probabilidad:**\

$$\Large
P(X = x) =  \begin{cases} \binom{x+r-1}{x} p^r (1-p)^{x}, \quad x = 0, 1, 2, \dots  \\ \\
0 \quad \text{en otro caso}
\end{cases}$$

- **Esperanza:**$\quad E[X] = \dfrac{r(1-p)}{p}$

- **Varianza:** $\quad \operatorname{Var}(X) = \dfrac{r(1-p)}{p^2}$

- **Notación:** $\quad X \sim BN(r, p)$

::: callout-note
**Diferencia con la binomial:** en la binomial se fija el número de
ensayos $n$ y se cuentan los éxitos. Aquí se hace **lo contrario**: se
fija el número de éxitos $r$ y se cuentan los **fracasos** que ocurren
antes de alcanzarlos. Por eso la variable no tiene límite superior:
$x = 0, 1, 2, \dots$

Cuando $r = 1$ se obtiene el caso particular llamado **distribución
geométrica**: el número de fracasos antes del primer éxito.
:::

## Interpretación del coeficiente binomial

¿Por qué aparece $\binom{x+r-1}{x}$ y no $\binom{x+r}{x}$?

Para que la variable tome el valor $x$ deben ocurrir **exactamente** dos
cosas:

1.  El **último** ensayo debe ser un **éxito** (si no, todavía no se
    habría alcanzado el $r$-ésimo éxito). Esa posición está **fija**, no
    entra en el conteo de arreglos.

2.  En los $x + r - 1$ ensayos anteriores deben repartirse los $x$
    fracasos y los $r-1$ éxitos restantes, en cualquier orden.

$$\underbrace{\binom{x+r-1}{x}}_{\text{formas de ordenar lo anterior}} \times \underbrace{p^{r}}_{r \text{ éxitos}} \times \underbrace{(1-p)^{x}}_{x \text{ fracasos}}$$

::: callout-note
Note que $\binom{x+r-1}{x} = \binom{x+r-1}{r-1}$, así que ambas
expresiones son equivalentes y en los libros se encuentran las dos.
:::

## Relación con el número total de ensayos

Algunos textos definen la variable como el **número total de ensayos**
hasta el $r$-ésimo éxito. Ambas versiones describen el mismo experimento
y se relacionan de forma directa:

$$\Large Y = X + r \qquad \qquad X = Y - r$$

donde $X$ cuenta **fracasos** (la que usaremos en este laboratorio) y
$Y$ cuenta **ensayos totales**.

::: callout-warning
En este curso, y en R, trabajaremos siempre con $X$ = **número de
fracasos**. Tenga presente que:
:::

## Distribución Binomial Negativa

#### En R tenemos las funciones:

1.  **dnbinom(x, size, prob):** calcula la probabilidad exacta $P(X=x)$
    de observar **"x" fracasos** antes del éxito número *size*.

    ```{r}
    #dnbinom(x = número de fracasos, size = r, prob = probabilidad de éxito)
    ```

2.  **pnbinom(q, size, prob):** calcula la probabilidad acumulada
    $P(X \le q)$ hasta **"q" fracasos**.

    ```{r}
    #pnbinom(q = fracasos acumulados, size = r, prob = probabilidad de éxito)
    ```

    - Si $lower.tail=TRUE$ entonces las probabilidades son acumuladas
      hacia abajo $P[X \leq x]$, si se define $lower.tail=FALSE$
      entonces se obtiene el complemento, es decir $P[X > x]$.

3.  **qnbinom(p, size, prob):** calcula el número de fracasos necesario
    para alcanzar una probabilidad acumulada deseada. (Es como el
    inverso de pnbinom - No devuelve una probabilidad, sino el valor de
    X). ***Básicamente calcula el cuantil p de la variable aleatoria.***

    ```{r}
    #qnbinom(p = probabilidad deseada, size = r, prob = probabilidad de éxito)
    ```

4.  **rnbinom(n, size, prob):** Genera un vector de valores aleatorios
    de una distribución binomial negativa. Donde $n$ es la cantidad de
    observaciones a generar.

    ```{r}
    #rnbinom(n = cantidad de observaciones deseadas, size = r, prob = probabilidad de éxito)
    ```

::: callout-important
Las funciones de R usan **exactamente** esta parametrización: el
argumento `x` o `q` es el **número de fracasos**, no el de ensayos. Por
eso no hay que sumar ni restar nada antes de entrar a R.

Los argumentos son: ***size = número de éxitos deseados (r), prob =
probabilidad de éxito (p)***.
:::

## ¿Cómo interpretar el cuantil en una variable discreta?

Como la variable solo toma valores enteros, casi nunca existe un valor
que acumule **exactamente** la probabilidad pedida. Por eso `qnbinom`
devuelve:

> ***El valor entero más pequeño*** $x_0$ tal que $P(X \le x_0) \ge p$.

```{r, echo = T}
qnbinom(p = 0.95, size = 3, prob = 0.18)      # cuantil 0.95, en fracasos
```

```{r}
#Verificación
pnbinom(q = 28, size = 3, prob = 0.18)        # acumula menos de 0.95
pnbinom(q = 29, size = 3, prob = 0.18)        # ya supera 0.95
```

::: callout-tip
Cuando el enunciado dice *"¿cuántos intentos fallidos debe estar
dispuesto a tolerar para cumplir la meta el 95% de los días?"*, están
pidiendo un **cuantil** y se usa `qnbinom`.
:::

## **Ejemplo 1:**

Un operador de ventas telefónicas concreta una afiliación en el **18% de
sus llamadas**. Su meta diaria es lograr **3 afiliaciones**. Sea $X$ el
número de **llamadas fallidas** (sin afiliación) que ocurren antes de
lograr la tercera afiliación.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que registre exactamente 7 llamadas
fallidas antes de cumplir su meta?**

$P(X = 7)$ con $r = 3$ y $p = 0.18$

$P(X=7) = \binom{7+3-1}{7} (0.18)^3 (0.82)^{7} = \binom{9}{7} (0.18)^3 (0.82)^{7}$

Usando **dnbinom(x, size, prob):**

```{r, echo = T}
dnbinom(x = 7, size = 3, prob = 0.18)
```

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que registre a lo sumo 12 llamadas
fallidas?**

$P(X \le 12)$

Usando **pnbinom(q, size, prob):** *(con* $lower.tail=TRUE$ *- Opción
por defecto)*

```{r, echo = T}
pnbinom(q = 12, size = 3, prob = 0.18)
```

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que registre más de 17 llamadas
fallidas?**

Usando **pnbinom(q, size, prob):** *(con* $lower.tail=FALSE$)

```{r, echo = T}
pnbinom(q = 17, size = 3, prob = 0.18, lower.tail = FALSE)

#Verifique usando el complemento
```

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que registre exactamente 2 llamadas
fallidas?**

```{r}

```

**E) ¿Cuál es la probabilidad de que registre al menos 9 llamadas
fallidas?**

```{r}

```

**F) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas fallidas esté
entre 7 y 17 (ambos inclusive)?**

$P(7 \le X\le 17)$

```{r}

```

**G) ¿Cuál es la probabilidad de que registre más de 5 llamadas
fallidas, pero menos de 15?**

```{r}

```

**H) ¿Cuál es la probabilidad de que registre menos de 7 llamadas
fallidas o más de 22?**

```{r}

```

**I) ¿Cuál es la esperanza y la varianza del número de llamadas
fallidas? (Interprete la esperanza)**

```{r}

```

**J) Usando la relación** $Y = X + r$**, ¿cuántas llamadas en total se
espera que realice para cumplir la meta diaria?**

```{r}

```

**K) ¿Cuál es la probabilidad de que registre exactamente 3 fracasos
antes de su primera afiliación?** *(Sugerencia: esto es un caso
particular con* $r=1$*, la distribución geométrica).*

```{r}

```

**L) Grafique la distribución de probabilidad asociada al ejercicio.**

```{r}
r = 3
p_exito = 0.18
fracasos = 0:50          # los valores posibles empiezan en 0

plot(fracasos, dnbinom(fracasos, size = r, prob = p_exito), type='h',
     main='Binomial Negativa (r = 3, p = 0.18)',
     ylab='Probabilidad',
     xlab='Llamadas fallidas',
     lwd=2)
```

## **Ejemplo 1 (continuación): cuantiles**

**M) ¿Cuántas llamadas fallidas debe estar dispuesto a tolerar el
operador para cumplir su meta de 3 afiliaciones en el 95% de los días?**

Se busca el valor $x_0$ tal que $P(X \le x_0) \ge 0.95$, es decir, el
**cuantil 0.95**.

```{r, echo = T}
qnbinom(p = 0.95, size = 3, prob = 0.18)
```

Verificación:

```{r, echo = T}

pnbinom(q = 30, size = 3, prob = 0.18)
```

**N) Con el resultado anterior, ¿cuántas llamadas en total debería
planificar el operador para ese día? (Use** $Y = X + r$**)**

```{r}

```

**O) Encuentre el cuantil 0.50 (la mediana) del número de llamadas
fallidas y compárelo con la esperanza** $E(X) = r(1-p)/p$**. ¿Por qué no
coinciden?**

```{r}

```

**P) Encuentre el cuantil 0.25 y el cuantil 0.75. Interprete ambos
resultados.**

```{r}

```

**Q) ¿Cuál es la probabilidad de que el operador registre MÁS llamadas
fallidas que el valor esperado del inciso I? ¿Es esa probabilidad igual
a 0.5? Explique por qué.**

```{r}

```

**R) Simule 10000 días de trabajo con `rnbinom()` y compare el promedio
y la varianza simulados contra los valores teóricos.**

```{r}
set.seed(2026)
simulacion <- rnbinom(n = 10000, size = 3, prob = 0.18)
mean(simulacion)     # teórico: 3*(1-0.18)/0.18
var(simulacion)      # teórico: 3*(1-0.18)/0.18^2
```

**S) Grafique en un mismo gráfico la distribución para** $r = 1$**,**
$r = 3$ **y** $r = 8$**, manteniendo** $p = 0.18$**. ¿Qué le ocurre a la
forma y a la posición de la distribución conforme aumenta** $r$**?**

```{r}
fracasos = 0:80  #aquí x va de 0 a 80, para acortar el gráfico, pero x va hasta infi
prob_exito = 0.18

plot(fracasos, dnbinom(fracasos, size = 1, prob = prob_exito), type='h',
     main='Efecto del parámetro r (p = 0.18)',
     ylab='Probabilidad', xlab='Número de fracasos', lwd=2)

points(fracasos, dnbinom(fracasos, size = 3, prob = prob_exito),
       type='h', col='red', lwd=2)

points(fracasos, dnbinom(fracasos, size = 8, prob = prob_exito),
       type='h', col='blue', lwd=2)

legend('topright', legend = c('r = 1', 'r = 3', 'r = 8'),
       col = c('black', 'red', 'blue'), lwd = 2)
```

## **Ejemplo 2:**

Un basquetbolista encesta el 70% de sus tiros libres. En una práctica
lanza tiros de forma independiente hasta lograr 5 aciertos. Sea $X$ el
número de tiros fallados antes del quinto acierto.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que falle exactamente 3 tiros antes de
lograr el quinto acierto?**

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que falle a lo sumo 2 tiros?**

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que falle al menos 4 tiros?**

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tiros fallados esté
entre 1 y 5 (ambos inclusive)?**

**E) ¿Cuál es la probabilidad de que falle más de 0 tiros, pero menos de
4?**

**F) ¿Cuál es la probabilidad de que no falle ningún tiro, es decir, que
logre los 5 aciertos de forma consecutiva? Verifique su respuesta
calculándola también como** $p^5$ **y explique por qué coinciden.**

**G) Determine la esperanza matemática** $E(X)$ **y la varianza**
$Var(X)$ **del número de tiros fallados.**

**H) Usando la relación** $Y = X + r$**, determine cuántos tiros en
total se espera que necesite.**

**I) ¿Qué es más probable: fallar exactamente 1 tiro o fallar
exactamente 2? Calcule ambas probabilidades y justifique el resultado
observando la forma de la distribución.**

**J) ¿Cuántos tiros fallados debe contemplar el entrenador para que el
jugador alcance los 5 aciertos en el 90% de las prácticas?**

**K) Encuentre la mediana del número de tiros fallados y compárela con
la esperanza.**

**L) Realice la representación gráfica de la función de probabilidad.**

**M) Simule 5000 prácticas y estime, a partir de la simulación, la
probabilidad del inciso B. Compare con el valor exacto.**

## **Ejemplo 3:**

Una máquina produce piezas de forma independiente y el 8% resulta
defectuosa. Un inspector revisa las piezas una por una hasta encontrar 4
piezas defectuosas ***(en este ejemplo el éxito es hallar una pieza
defectuosa)***. Sea $X$ el número de piezas en buen estado que revisa
antes de encontrar la cuarta defectuosa.

**A) ¿Cuál es la probabilidad de que revise exactamente 36 piezas en
buen estado antes de encontrar la cuarta defectuosa?**

**B) ¿Cuál es la probabilidad de que revise a lo sumo 31 piezas en buen
estado?**

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que revise más de 56 piezas en buen
estado?**

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de piezas en buen estado
esté entre 36 y 51 (ambos inclusive)?**

**E) Determine la esperanza y la varianza del número de piezas en buen
estado revisadas. Interprete la esperanza.**

**F) Usando la relación** $Y = X + r$**, determine cuántas piezas en
total se espera que revise.**

**G) ¿Cuál es la probabilidad de que revise exactamente 9 piezas en buen
estado antes de encontrar la primera defectuosa?**

**H) El inspector solo dispone de 60 piezas en total para revisar. ¿Cuál
es la probabilidad de que alcance a encontrar las 4 defectuosas antes de
quedarse sin piezas?** *(Sugerencia: traduzca la condición sobre el
total de piezas a una condición sobre* $X$*).*

**I) ¿Cuántas piezas en buen estado debe contemplar el inspector para
completar la revisión en el 95% de los casos?**

**J) Encuentre el cuantil 0.10 y el cuantil 0.90 del número de piezas en
buen estado. Interprete.**

**K) Grafique la función de probabilidad.**

**L) ¿Cómo cambiaría la respuesta del inciso E si la máquina mejorara y
el porcentaje de defectuosas bajara al 4%? Calcule e interprete.**

# **Ejemplo 4:** Parametrización de ensayos

$$X = Y - r \qquad \Longrightarrow \qquad P(Y = y) = P(X = y - r)$$

Una empresa de reclutamiento entrevista candidatos de forma
independiente. El 25% de las personas entrevistadas acepta la oferta
laboral. Se entrevista hasta contratar a 3 personas. Sea $Y$ el número
total de entrevistas realizadas.

**A) ¿Cuáles valores puede tomar** $Y$**? ¿Por qué no puede valer menos
que 3?**

**B) Escriba la función de probabilidad de** $Y$ **a partir de la de**
$X$**, indicando el rango.**

**C) ¿Cuál es la probabilidad de que realice exactamente 8
entrevistas?**

$P(Y = 8) = P(X = 8 - 3) = P(X = 5)$

```{r, echo = T}
dnbinom(x = 8-3, size = 3, prob = 0.25)
```

**D) ¿Cuál es la probabilidad de que realice a lo sumo 10 entrevistas?**

$P(Y \le 10) = P(X \le 7)$

```{r, echo = T}
pnbinom(q = 10-3, size = 3, prob = 0.25)
```

**E) ¿Cuál es la probabilidad de que realice más de 15 entrevistas?**

```{r}

```

**F) ¿Cuál es la probabilidad de que realice al menos 12 entrevistas?**

```{r}

```

**G) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de entrevistas esté entre
6 y 12 (ambos inclusive)?**

```{r}

```

**H) ¿Cuál es la probabilidad de que realice más de 5 entrevistas pero
menos de 14?**

```{r}

```

**I) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 primeras personas
entrevistadas acepten la oferta?**

```{r}

```

## **Ejemplo 4 (continuación)**

**J) Calcule** $E(Y)$ **y** $Var(Y)$ **usando las fórmulas**
$E(Y) = r/p$ **y** $Var(Y) = r(1-p)/p^2$**. Interprete la esperanza.**

```{r}

```

**K) Calcule** $E(X)$ **y** $Var(X)$**. Verifique que**
$E(Y) = E(X) + r$ **y que** $Var(Y) = Var(X)$**. Explique por qué la
varianza no cambia.**

```{r}

```

**L) ¿Cuántas entrevistas debe programar la empresa para completar las 3
contrataciones en el 90% de los procesos?** *(Recuerde sumar* $r$ *al
resultado de `qnbinom`).*

```{r}

```

**M) ¿Cuántas entrevistas debe programar para el 99% de los procesos?**

```{r}

```

**N) Si la empresa solo tiene presupuesto para 14 entrevistas, ¿cuál es
la probabilidad de que NO logre completar las 3 contrataciones?**

```{r}

```

**O) Grafique la función de probabilidad de** $Y$**. Note que el eje
horizontal debe comenzar en** $r = 3$ **y no en 0.**

```{r}
r = 3
p = 0.25
ensayos = r:40                    # Y empieza en r

plot(ensayos, dnbinom(ensayos - r, size = r, prob = p), type='h',
     main='Número total de entrevistas (r = 3, p = 0.25)',
     ylab='Probabilidad',
     xlab='Entrevistas totales',
     lwd=2)
```

**P) Simule 10000 procesos de reclutamiento con `rnbinom()`,
conviértalos a número de entrevistas totales sumando** $r$**, y compare
el promedio simulado con** $E(Y)$**.**

```{r}
 set.seed(2024)
 fracasos <- rnbinom(n = 10000, size = 3, prob = 0.25)
 entrevistas <- fracasos + 3
# mean(entrevistas)     # teórico: 3/0.25
# var(entrevistas)      # teórico: 3*(1-0.25)/0.25^2
```

**Q) Compare el histograma de las entrevistas simuladas con la función
de probabilidad teórica del inciso O.**

```{r}

```